Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 6

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки на заданное расстояние, называется окружностью.

Данная фиксированная точка называется центром окружности, а заданное расстояние — радиусом окружности.

Таким образом, если мы выберем точку Р на окружности (с центром в точке А и радиусом r), то d(P, А) = r. Например, если центр находится в точке (2, -1), а радиус равен 3, то все точки Р, удовлетворяющие нашему соотношению для А и r, образуют окружность.

На приведенном выше рисунке для изображения точек окружности использовалась формула евклидова расстояния, но если применять формулу расстояния такси, то получится совсем другой, очень странный результат, как можно видеть на следующем рисунке.

Мы можем проверить, что точки Р на этой «окружности» такси действительно удовлетворяют соотношению d_>T = (Р, А) = r при А = (2, -1) и r = 3. В геометрии такси возможно то, что всегда казалось абсурдным: мы можем круг превратить в квадрат!

Если вычислить длину окружности нашего такси-круга по классической формуле l = 2·π·r, то мы получим l = 2 ·π· 3 = 18,849. Однако по формуле расстояний такси длина окружности составит 6 + 6 + 6 + 6 = 24 единицы, и, кроме того, результат совсем не будет содержать π.

Многие другие формы, известные из геометрии Евклида, выглядят странно в геометрии такси. Например, эллипс представляет собой множество точек, расположенных вокруг двух фиксированных точек, называемых фокусами. Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов постоянна. Круг является частным случаем эллипса, когда оба фокуса находятся в одной точке.

В следующем примере фокусами являются точки А = (—3, 0) и В = (3, 0), а большая ось эллипса (наибольший диаметр) составляет 10 единиц. Следовательно, эллипс состоит из всех точек Р, удовлетворяющих условию d(P, А) + d(P, В) = 10:

Если евклидово расстояние заменить расстоянием такси, то множество точек Р, удовлетворяющих условию d(P, А) + d(P, В) = 10, будет выглядеть весьма странно:

Эти примеры показывают, что формы геометрических фигур не являются универсальными, вечными и неизменными. Любая форма относительна, каким бы странным этот факт ни казался. Формы зависят от метрики — так называется тип используемого «расстояния». Другими словами, они зависят от подхода к данной задаче.

Тем не менее, расстояние такси вовсе не является курьезом. Оно имеет множество применений в городском планировании. Например, оно играет важную роль при планировании эффективной дорожной сети и удобного расположения государственных учреждений (больниц, школ, туристических достопримечательностей и т. д.).