Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер (Наварро) - страница 63

и J имеем:

Определить идеал IJ несколько сложнее. Это идеал, порожденный всеми произведениями ху, где х I, у J. Пересечение всех идеалов, содержащих подобные произведения, называется порожденным идеалом.

Областью целостности называется кольцо А, на котором для операции · не существует так называемых делителей нуля. Иными словами, на этом кольце не существует элементов а и b таких, что аb = bа = 0.

В этом случае кольцо А является коммутативным и содержит единичный элемент, то есть для операции определен нейтральный элемент, играющий роль единицы:

а 1 = а.

Теперь рассмотрим область целостности А без 0. Обозначим ее через А* = А|(0). Если операция · определяет на А* коммутативную группу, то А называется полем. Если А* не является коммутативной, то А называется телом. Не стоит пугаться подобных сложностей: если кольцо А конечно, то оно коммутативно согласно знаменитой теореме Веддербёрна. Если кольцо А бесконечно, то наступает раздолье для алгебраистов.

Рассмотрим А-модули — редчайший вид современного алгебраического мира. Чтобы определить левый А-модуль, нам потребуются кольцо с единицей А и коммутативная группа М. Действия с элементами a, b А и элементами М (m, n М) определяются следующим, вполне обычным образом:

1. (ab)m= а(Ьm)

2. (а + b) n = am + bm

3. а(m + n) = am + аn

4. 1m = m.

Аналогично определяется правый А-модуль; коммутативный модуль (или просто A-модуль) — это модуль, который является правым и левым одновременно. Если А — поле, то A-модуль называется векторным пространством. Если для векторов векторного пространства определена операция умножения, имеем «алгебру». На этом мы остановимся. Хотя приведенные нами определения элементарны, вполне возможно, что читатель не назовет элементарным этот раздел.

Большая часть научной работы Эмми Нётер была посвящена кольцам и идеалам — алгебраическим структурам, над которыми она работала многие годы. Почему же Нётер уделяла им такое внимание?

Многие объекты, с которыми работают математики, представляют собой кольца: так, кольцами являются множество целых чисел  и его последовательные расширения — ,  и . Кольцами также являются многочлены одной переменной с коэффициентами из вышеуказанных колец [X], [X], [X] и [X]. Аналогично кольцами являются многочлены нескольких переменных [X_>1, Х_>2…., X_>n], [X_>1, Х_>2…., X_>n], [X_>1, Х_>2…., X_>n], и [X_>1, Х_>2…., X_>n]. А также сходящиеся ряды — короче говоря, много чего еще.

Но что такое идеалы и почему они получили столь романтичное название? Совершим небольшой экскурс в историю математики. Рассмотрим в качестве примера квадратичное целое