Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер (Наварро) - страница 62

Основных алгебраических структур, которые рассматриваются как множества с одной или несколькими операциями, много. Мы ограничимся тем, что рассмотрим структуры, на которых определены две операции, o и •. Этими операциями часто оказываются + и •. Порой требуется так называемый третий закон внешней композиции (а иногда и больше), но мы рассмотрим только простейшие случаи. Вместо того чтобы постоянно использовать слова «является элементом», заменим их символом .

Группой называется множество элементов А с определенной на нем операцией o, которая удовлетворяет трем следующим условиям:

1) существует нейтральный элемент n такой, что n о а = а о n = а для любого a  А;

2) для каждого а  А существует обратный элемент а^>-1 такой, что а о а^>-1 = а^>-1 о а = n;

3) для любых a, b, с А выполняется свойство ассоциативности, согласно которому (а о Ь) о с = а о (Ь о с).

Группа называется коммутативной, или абелевой (в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля), если для любых a, b  А определенная нами операция обладает коммутативностью, то есть выполняется соотношение а о Ь = b о а.

Если на группе определена операция сложения (+), то элемент, обратный а, обозначается — а и называется противоположным. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 0.

Если на группе определена операция умножения (), то элемент, обратный а, обозначается 1/а. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 1.

4) для любых а, Ь, с  А справедливо (а Ь) с = а (Ь с).

Операции о и связаны друг с другом свойством дистрибутивности относительно:

5) а (Ь о с) = (а b) о (а с).

Кольцо — это коммутативная группа, на которой определена еще одна операция обладающая свойством ассоциативности:

Примерами колец являются натуральные числа , целые числа , рациональные числа , вещественные числа  и комплексные числа  (вне зависимости от определенной для них модальной арифметики). Многочлены также образуют кольца.

В мире колец операция о обладает коммутативностью аналогично операции сложения, поэтому она обозначается знаком +. Операция (для простоты будем предполагать, что она также обладает коммутативностью) обозначается знаком ·, подобно умножению.

Подгруппой или подкольцом А будет любое подмножество, которое будет оставаться группой или кольцом, если ограничить операции о или этим подмножеством. Идеал — особое подкольцо: это подкольцо В 

А такое, что любое произведение b  В и любого другого элемента, принадлежащего В или нет, будет принадлежать В. Идеалы можно складывать и перемножать. Результатами сложения и умножения идеалов также будут идеалы. Понятие идеала возникло как обобщение понятия числа. Для двух данных идеалов