К счастью, коллекция его трудов сохранилась в достаточно полном виде; многие из важных писем математика были опубликованы. Однако Гаусс трепетно относился к своему первенству в математических открытиях и даже использовал шифр, чтобы защитить их. По мнению некоторых исследователей, нераспространенность его работ вызвала отставание в развитии науки на целых полвека: если бы Гаусс позаботился о том, чтобы опубликовать хотя бы половину своих результатов, и не шифровал бы так тщательно свои объяснения, возможно, математика развивалась бы быстрее. Математический дневник Гаусса, хранившийся в его семье, стал доступен публике только в 1898 году. Его изучение подтвердило, что ученый доказал, не публикуя, многие результаты, которые другие математики пытались получить в течение всего XIX века. Гаусс всегда утверждал, что математика — это как архитектурное произведение: архитектор никогда не оставит строительные леса, чтобы люди не видели, как было построено здание. Естественно, такой взгляд на науку не способствовал лучшему пониманию его трудов коллегами-современниками.
Логическая структура подхода к математическим проблемам, предложенная Гауссом, в которой сначала формулируют результаты или теоремы, затем переходят к их доказательству и завершают выводами или следствиями, до сих пор остается обычным способом представления математических доказательств. Немецкий математик отказывался публиковать недоказанные результаты, и эта позиция определила переломный момент в подходе математиков к их науке. Хотя идея важности доказательства как необходимая составляющая научного процесса появилась еще в Древней Греции, до эпохи Гаусса всех намного больше интересовало применение научных открытий: если математика работала, никто особо не заботился о том, чтобы в строгой форме изложить, почему так происходит.
Когда Гаусс занялся арифметикой и теорией чисел, эти дисциплины состояли из множества разрозненных результатов, никак не связанных между собой. Ученый собрал существующие знания и объединил их в общую систему, указав на имеющиеся ошибки и исправив их. Он возвел математику XIX века на уровень, которого невозможно было достичь несколько лет назад, и поднял арифметику на вершину математики. Говоря его словами, «Математика — царица наук, а арифметика — царица математики».
Первым огромным результатом, полученным еще до того, как Гауссу исполнилось 19 лет, было открытие метода построения с помощью линейки и циркуля многоугольника с 17 сторонами (17-угольника). Построение правильных многоугольников волновало математиков со времен классической Греции, при этом результаты были нерегулярными, поэтому некоторые многоугольники (например, многоугольник с семью сторонами, или семиугольник) невозможно было построить точно: линейки и циркуля было недостаточно, а более совершенных приборов не существовало. Как писал сам Гаусс, который очень гордился этим открытием в течение всей жизни, «это абсолютно не связано со случайностью, поскольку это был плод усиленных размышлений. Еще не встав с кровати, я увидел очень четко всю эту связь, так что я тут же применил к 17-угольнику соответствующее числовое утверждение». Гаусс не только решил эту задачу, но и нашел общий способ разрешения вопроса, может ли многоугольник быть построен с помощью линейки и циркуля. В своем завещании Гаусс попросил, чтобы на его могильной плите выгравировали многоугольник с 17 сторонами, построенный по его методу. Однако этого не было сделано: резчик счел задачу слишком сложной.