Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел (Лизана) - страница 24

Комплексные числа имеют алгебраическую структуру поля с операциями суммы и произведения. Сначала дадим им определения и покажем, что это внутренние операции, то есть что мы получаем комплексные числа, когда оперируем ими.

— Сумма:

(a + bi) + {c + di) = a + c + (b + d) i.

— Произведение:

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac-bd + (be + + ad) i.

При таком определении операций у чисел есть необходимые свойства для того, чтобы иметь алгебраическую структуру поля:

— ассоциативность обеих операций;

— коммутативность обеих операций;

— существование нейтрального элемента (0 для суммы и 1 для произведения);

— существование результата, противоположного сумме, и результата, обратного произведению;

— дистрибутивность.

Доказательство этих свойств следует непосредственно из определений. Наличие структуры поля позволяет работать с комплексными числами, используя все возможности, которые предоставляет алгебра.

Эйлер (1707-1783) — швейцарский математик и физик. Речь идет о главном математике XVIII века и одном из самых великих математиков всех времен. Эйлер долгие годы жил в России, где был почетным гостем Екатерины I и ее придворных (в то время в России существовала традиция приглашать наиболее крупных ученых в Академию наук). Эйлер осуществил важные открытия в таких областях, как вычисления, или теория графов (графы — это математическая модель множества узлов и их соединений с помощью ребер, ориентированных либо нет; они имеют широкое применение для представления сети дорог или планов городов). Эйлер также ввел значительную часть современной терминологии и математических обозначений, например понятие математической функции. Он определил число е, одну из самых используемых констант, породившую натуральные логарифмы. Также Эйлер известен своими работами в области механики, оптики и астрономии. Он входит в число наиболее плодовитых ученых: полное собрание его сочинений могло бы занять от 60 до 80 томов. И действительно, даже через 50 лет после смерти математика Петербургская академия наук все еще публиковала статьи Эйлера, хранящиеся в ее архивах. Лаплас, говоря о влиянии ученого на последующих математиков, заметил: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он учитель всех нас».

В ту эпоху превалировала мысль о том, что числа -- это объекты, которые можно складывать и умножать, но не изображать. И потребовалось 50 лет для того, чтобы Гаусс решился открыть коллегам графические леса, которыми он воспользовался в диссертации. Эта теорема так захватила Гаусса, что он нашел еще три ее доказательства. Второе возникло через год после защиты, и оно дополняло некоторые пропуски первоначального варианта. Третье доказательство, выдвинутое в 1815 году, было основано на идеях Эйлера, в нем не применяются геометрические положения, и это первая серьезная попытка чисто алгебраического доказательства с открытым использованием комплексных чисел. Тут же Гаусс критикует попытки других математиков, основанные на аналитических методах. Последнее доказательство было получено в 1849 году, в связи с 50-летием докторской диссертации. Оно очень похоже на первое, но в этот раз Гаусс приводит все геометрические рассуждения. Чтобы понять важность диссертации Гаусса, достаточно отметить, что доказательство теоремы повергло в прах Эйлера, Лагранжа и Лапласа — трех величайших математиков в истории.