| Степени числа 10 | Количество простых чисел (π(Ν)) | Среднее расстояние между простыми числами |
| 10 | 4 | 2,50 |
| 100 | 25 | 4,00 |
| 1000 | 168 | 5,95 |
| 10000 | 1229 | 8,14 |
| 100000 | 9592 | 10,43 |
| 1000000 | 78498 | 12,74 |
| 10000000 | 664579 | 15,05 |
В этой таблице намного больше информации, чем было в распоряжении Гаусса, у которого не было таблиц простых чисел, доходивших до 10000000. Но обычно ему требовалось меньше данных, чем другим людям, чтобы прийти к выводам, так что будет справедливо, если мы воспользуемся этим преимуществом. Если мы посмотрим на таблицу, становится очевидным, что среднее расстояние между последовательными простыми числами увеличивается, и для значений выше 10000 увеличение стабилизируется на 2,3. То есть когда мы умножаем на 10 число N, расстояние между простыми числами увеличивается на 2,3. Именно благодаря этой связи между умножением и сложением Гаусс подумал, что логарифмы могут играть важную роль. Поскольку среднее расстояние увеличивается на 2,3 вместо 1 каждый раз, когда мы умножаем на 10, возникает мысль, что это связано с логарифмом не по основанию 10. Гаусс выяснил, что наиболее подходящим для его вычислений основанием было число е, и, следовательно, он решил воспользоваться натуральными логарифмами. А ln(10) = 2,3034, следовательно, ln( 100) = ln(10 · 10) = ln(\0) + ln( 10), и аналогично при умножении еще на 10.
Это дало Гауссу основание сформулировать следующую гипотезу: для чисел в промежутке от 1 до N средняя удаленность между простыми числами равна ln(N). Следовательно, мы можем определить значение функции π как:
π(Ν) = Ν/ln(N)
Гаусс никогда не думал, что это точная формула. Он считал, что она может использоваться для оценки, для установления какого-то порядка в распределении простых чисел. Гаусс записал это приближение в книге логарифмов, но никому не объяснил своей идеи, поскольку у него не было доказательств правильности этого наблюдения и он не знал, сохранится ли модель по мере увеличения Ν. Такое поведение вполне соответствовало представлениям Гаусса о том, как нужно вести научные исследования. Без доказательства связь между простыми числами и логарифмами для ученого не имела ценности. Однако его идея стала зачатком нового способа решения проблемы и дала в будущем чудесные результаты.
С Гауссом в исследованиях вновь пересекся Лежандр. Французского математика также интересовала теория чисел, и в 1798 году, на шесть лет позже, чем Гаусс, он объявил об обнаружении экспериментальной связи между простыми числами и логарифмами. Результат, который предложил Лежандр, был лучше, поскольку выяснилось, что результат Гаусса удаляется от реальных значений по мере роста N.