Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел (Лизана) - страница 56
На рисунке показано, что хотя Гаусс, безусловно, открыл нечто интересное, открытие можно было улучшить. Лежандр получил результат, определяемый формулой
π(Ν) = N/(ln(N)-1,08366)
сделав небольшое исправление, которое приближало формулу к реальному графику распределения простых чисел. На самом деле при существующих на то время таблицах простых чисел было почти невозможно различить графики π(Ν) и результат Лежандра. Он приспособил функцию к графику, что было относительно простой задачей при использовании метода наименьших квадратов, и поэтому в формуле появился такой член, как 1,08366, не имеющий в математике самостоятельного значения. Лежандр в своих изысканиях больше заботился о том, чтобы находить практические объяснения, а не искать доказательства. Так, в 1808 году он опубликовал свою гипотезу о простых числах в книге, озаглавленной Theorie des nombres («Теория чисел»), не раскрывая метода, который привел его к этому заключению. Спор о том, кто первым открыл связь между логарифмами и простыми числами, вызвал новую полемику между Гауссом и Лежандром. Свое разрешение она нашла только после смерти Гаусса, когда были изучены его заметки и переписка и было установлено, что он вновь обошел Лежандра. В любом случае уравнение Лежандра с добавленным членом имело довольно неестественный вид, кроме того, не было уверенности, что результат будет хорошим после расширения таблиц простых чисел.
Неудивительно, что Гаусс посвятил свои последние годы улучшению этого результата в поисках более точной и лучше обоснованной с точки зрения математики формулы. Так возникла проблема вычисления вероятностей. Было очевидно, что по мере увеличения N вероятность найти простое число уменьшается. Идея состояла в том, чтобы воспользоваться вероятностями, основанными на выражении
1/ln(N)
Результат Гаусса получил новое выражение:
На самом деле эта формула была небольшой модификацией предыдущей; ученый обозначил ее L>i(N) и назвал интегральным логарифмом N; выражение было более точным, поскольку в нем ряд сумм заменялся интегралом, то есть бесконечной суммой. Итак, выражение, заданное Гауссом, имело вид:
Гаусс предположил: π(Ν) = L>i(N), что известно как гипотеза Гаусса о простых числах, которая, как мы увидим, превратилась в теорему Гаусса о простых числах. Так немецкий математик снова превзошел Лежандра, хотя для того чтобы доказать его открытие, потребовался огромный технический прогресс в вычислении простых чисел. Чтобы проверить свою гипотезу, Гаусс много времени посвятил построению таблиц простых чисел. В возрасте более 70 лет он написал астроному Иоганну Энке (1791-1865): «Очень часто я пользовался четвертью часа отсутствия дел, чтобы находить простые числа с промежутками размером в тысячу». Что и говорить, весьма оригинальный способ отдыхать! Но благодаря ему Гауссу удалось определить количество простых чисел, меньших 3000000, и он выяснил, что разница по сравнению с результатом его интегральной функции едва равна 0,0007 %. Когда появились более обширные таблицы простых чисел, обнаружилось, что формула Лежандра была гораздо менее точной и давала заметную погрешность для чисел больше 10000000.