На место чувственного элемента конкретного отрезка и плоскости – специфического выражения античного чувства границы – стал абстрактно-пространственный, не античный элемент точки, который с тех пор характеризуется как группа соподчиненных чистых чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственного измерения и заменил его переменным значением отношений положения в пространстве. Что это было устранением геометрии вообще, которая с тех пор, в числовом мире анализа, стала влачить жалкое существование, подернутое дымкой античных воспоминаний, – это совершенно упустили из виду. Слово «геометрия» имеет неустранимый аполлоновский смысл. Начиная с Декарта мнимо «новая геометрия» оказывается или синтетическим процессом, который определяет посредством чисел положения точек уже не только в трехмерном пространстве («точечные множества»), или аналитическим, который определяет числа посредством положения точек. Заменить отрезки положениями – значит рассматривать понятие протяжения чисто пространственно, а не телесно.
Классическим примером этого разрушения унаследованной геометрии наглядного и конечного представляется мне обращение угловых (тригонометрических) функций – они были в едва доступном для нас смысле числами индийской математики – в функции циклометрические (круговые) и дальнейшее их разложение в ряды, которые в бесконечном царстве чисел алгебраического анализа утратили всякое воспоминание о геометрических образованиях эвклидовского стиля. Число я и основание натуральных логарифмов число е, всюду всплывая в этой области чисел, порождают отношения, которые стирают все границы прежней геометрии, тригонометрии, алгебры, которые не имеют ни геометрической, ни арифметической природы, ибо здесь никто уже не думает о действительно нарисованных кругах или вычисляемых степенях.
9.
В то время как античная душа благодаря Пифагору в 540 году приходит к концепции своего собственного аполлоновского числа, душа Запада в точно соответственное время нашла благодаря Декарту и его поколению (Паскаль, Ферма, Дезарг) идею числа, которая родилась из фаустовской страсти к бесконечному. Число как чистая величина, которое приурочено к предметной действительности отдельных вещей, находит свою противоположность в числе как чистом отношении. Если античный мир, космос, определяется глубокой потребностью в видимой ограниченности как исчислимой суммы материальных вещей, то наше мироощущение воплощается в картине бесконечного мира, в котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное в противоположность безусловному, как действительность второго сорта. Его символом является основное понятие функции, никакой другой культуре неизвестное. Функция – это ни в каком случае не расширение какого-нибудь прежнего понятия числа; она его полное преодоление. Не только Эвклидова, то есть общечеловеческая, популярная геометрия, но и архимедовская область элементарного счисления, арифметика, перестает существовать в математике, действительно важной для Западной Европы; здесь может иметь место только абстрактный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были науками огромного значения; они обе наглядны, обе в счете или чертеже оперируют с величинами; для нас они только практические средства обыденной жизни. Сложение и умножение, оба античных метода счисления величин, совершенно исчезают в бесконечности функционального процесса. Степень, которая сначала является только числовым знаком определенной группы умножения (для множителей одной и той же величины), совершенно освобождается от понятия величины посредством нового символа показателя (логарифма) и его применения к комплексным, отрицательным, дробным формам и переводится в трансцендентный мир отношений, который был бы совершенно чужд грекам, знавшим только две положительные целые степени, представляющие площади и тела (следует вспомнить о выражениях, подобных).