Каждое из глубоких творений, которые со времен Возрождения быстро следуют одно за другим, как: мнимые и комплексные числа, которые введены Карданом еще в 1550 году; бесконечные ряды, теоретически обоснованные Ньютоном после его великого открытия бинома в 1666 году; логарифмы в 1610 году; дифференциальная геометрия; определенный интеграл Лейбница; множество как новое числовое единство, уже намеченное Декартом; новые действия, как то: неопределенные интегралы, разложение функций в ряды и даже бесконечные ряды других функций, – каждое из этих открытий является также победой над популярно-наглядным чувством числа, которое должно было быть преодолено духом новой математики, осуществлявшей новое мироощущение. Не было другой культуры, которая наследию старой, давно угасшей культуры воздавала бы столько почестей и допускала бы с ее стороны столько влияния, сколько западноевропейская по отношению к культуре античной. Много прошло времени, прежде чем мы нашли в себе мужество думать свои думы. В основе лежало постоянное желание подражать античному. Тем не менее всякий шаг вперед был фактическим удалением от поставленного идеала. Поэтому история западноевропейского знания – это растущая эмансипация от чуждого, история освобождения, которого вовсе не хотели, но которое вынуждалось глубинами бессознательного. Так развитие новой математики принимает вид скрытой, долгой, наконец, победоносной войны против понятия величины.
10.
Античные предрассудки помешали нам отметить новое в западноевропейском числе как таковом. Современный символический язык математики искажает сущность дела, и прежде всего ему следует приписать, что еще и поныне математиками разделяется взгляд, будто числа суть величины, – на этой предпосылке, во всяком случае, покоится наша письменная система обозначения.
Новое число – это не отдельные знаки (x, π, 5), применяемые для выражения функции, но сама функция как единство, как элемент, изменчивое, в наглядные границы более не вмещаемое отношение. Для него была бы нужна новая символика, по самой своей структуре свободная от античных воззрений.
Необходимо уяснить себе разницу двух уравнений – даже само слово «уравнение» не следовало бы применять к таким совершенно разным вещам, например 3x + 4x = 5х и xn+ yn = zn (уравнение Ферма). Первое состоит из многих «античных чисел» (величин), второе есть одно число совершенно другого рода; это маскируется одинаковым способом написания, символика которого развилась под влиянием эвклидо-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства есть установка неизменной связи определенных, осязаемых величин; во втором знак равенства представляет некоторое отношение, существующее внутри группы переменных образований, такого рода, что определенные изменения необходимо влекут за собой известные другие. Первое равенство имеет целью установку (измерение) конкретной величины, «результата», – второе вообще не имеет никакого результата, но является отображением и знаком отношения, которое для n > 2 – это и есть знаменитая проблема Ферма – исключает целые значения, что, вероятно, доказуемо. Греческие математики не могли бы понять, чего, собственно, хотят от этого рода операций, конечной целью которых не является «вычисление».