Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса (Ливио)

Об этих трех мирах Пенроуз замечательно пишет в книгах «Новый ум короля» и «Путь к реальности».

К этой статье мы еще не раз вернемся на страницах нашей книги.

О законе Харди-Вайнберга в контексте см., например, Hedrick 2004.

Этот алгоритм тогда был засекречен, а впоследствии получил название RSA в честь Р. Ривеста, А. Шамира и Л. Адлемана из Массачусетского технологического института, которые независимо придумали его несколько лет спустя. См. Rivest, Shamir, and Adleman 1978.

Научно-популярные книги о симметрии и теории групп и о хитросплетениях их истории – «The Equation That Couldn’t Be Solved» (Livio 2005), Stewart 2007, Ronan 2006 и Du Sautoy 2008.

Чудесный популярный рассказ о возникновении теории хаоса см. в Gleick 1987.

Превосходное, хотя и сугубо научное описание этой задачи и ее решений можно найти в книге Applegate et al. 2007.

Популярное изложение пифагорейского учения см. в книге Strohmeier and Westbrook 1999.

О поразительных свойствах чисел превосходно рассказано в Wells 1986.

Подробно об истории и значении этого термина и о том, что означало это слово в разное время, см. Heath 1921. Математик Теон Смирнский (ок. 70–135 гг.) употреблял это слово применительно к фигурному выражению чисел, о чем говорится в его трактате «Изложение математических предметов, полезных при чтении Платона» (Theon of Smyrna ca. 130 AD).

Обратите внимание, что в этом комментарии Прокл ничего не говорит о собственных представлениях о том, был ли Пифагор первым, кто сформулировал эту теорему. История о быке упоминается в трудах Диогена Лаэрция, Порфирия и историка Плутарха (ок. 46–120 гг.). Все эти рассказы восходят к Аполлодору. Однако там говорится лишь о каком-то «знаменитом утверждении» и не уточняется, о каком именно утверждении идет речь. См. Laertius ca. 250 AD, Plutarch ca. 75 AD.

Такая космология основана на идее, что реальность возникла из Вещества (которое считалось неопределенным), подвергшегося воздействию Формы (то есть предела).

О вкладе пифагорейцев в научный прогресс и об их влиянии см. Huffman 1999, Riedweg 2005, Joost-Gaugier 2006, а также Huffman 2006 в Stanford Encyclopedia of Philosophy.

В рамках настоящей книги я не обсуждаю темы наподобие трансфинитных чисел и трудов Кантора и Дедекинда. Об этом прекрасно рассказано в популярных книгах Aczel 2000, Barrow 2005, Devlin 2000, Rucker 1995 и Wallace 2003.

Из одних названий книг и статей о Платоне можно, разумеется, составить целый том. Приведу лишь несколько трудов, которые представляются мне весьма познавательными. О Платоне вообще – Hamilton and Cairns 1961, Havelock 1963, Gosling 1973, Ross 1951, Kraut 1992. О Платоне и математике – Heath 1921, Cherniss 1951, Mueller 1991, Fowler 1999, Herz-Fischler 1998.

Речь была написана в 362 году н. э., однако о содержании надписи в ней ничего не говорится. Сам текст обнаружен в заметке на полях рукописи Элия Аристида. Заметка, вероятно, сделана оратором Сопратом, жившим в IV веке. Она гласит: «На фронтоне Платоновой школы было написано: “Не геометр да не войдет!”. Это вместо “несправедливый” или “нечестивый”, поскольку геометрия стремится к честности и справедливости». Видимо, из этой заметки следует, что слова «не геометр» заменяли у Платона слова «несправедливый или нечестивый человек» в надписи, которую обычно помещали над входом в святилища («Нечестивый да не войдет!»). Впоследствии эту историю рассказывали целых пять александрийских философов VI века, и она попала даже в книгу «Хилиады» эрудита XII века Иоанна Цеца (ок. 1110–1180). Подробнее об этом см. Fowler 1999.

Обзор многих безуспешных археологических попыток найти Академию дан в Glucker 1978.

Интересное обсуждение см. в Stewart 1905.

Интересное обсуждение платонизма и его места в философии математики см. в книгах Tiles 1996, Mueller 1992, White 1992, Russell 1945, Tait 1996. Превосходное популярное изложение можно найти в Davis and Hersh 1981, Barrow 1992.

Платон рассуждает об астрономии и движении планет в «Государстве» (Plato ок. 360 до н. э.), в «Тимее» и в «Законах». Следствия точки зрения Платона обсуждаются в Vlostos 1975 и Mueller 1992.

Это упомянуто в комментариях математика Евтокия (ок. 480–540) к сочинению Архимеда «Измерение круга»; см. Heiberg 1910–15.

Год рождения Архимеда определен на основании «Хилиад» византийского автора XII века Иоанна Цеца.

Римский архитектор Марк Витрувий Поллион (I в. до н. э.) приводит этот анекдот в своем трактате «De Architectura» (Vitruvius I century BC.) Он пишет, что Архимед погрузил в воду слиток золота и слиток серебра – оба точно такого же веса, что и венец. Таким образом, он обнаружил, что венец вытесняет больше воды, чем золото, но меньше, чем серебро. Легко показать, что разница объемов вытесненной воды позволяет рассчитать соотношение веса золота и серебра в венце. То есть, вопреки некоторым распространенным версиям легенды, Архимеду не пришлось прибегать при решении задачи о венце к законам гидростатики.

Томас Джефферсон в письме Жозе Коррея да Серра в 1814 году писал: «Хорошее мнение общества, подобно рычагу Архимеда, движет миром, стоит лишь найти верную точку опоры». Лорд Байрон упоминает об утверждении Архимеда в «Дон-Жуане». Кеннеди вставил эту фразу в свою предвыборную речь, которая цитировалась в «Нью-Йорк Таймс» 3 ноября 1960 года. Марк Твен приводит ее в статье «Архимед» (1887).

В октябре 2005 года группа студентов Массачусетского технологического института попыталась воспроизвести эту установку и сжечь корабль при помощи зеркал. Результаты оказались неубедительными: студенты сумели поддержать огонь на загоревшемся участке, но крупный пожар устроить не удалось. Похожий эксперимент, проведенный в Германии в сентябре 2002 года, показал, что поджечь корабельный парус при помощи 500 зеркал в принципе возможно. Подробнее о поджигательных зеркалах можно прочитать на сайте Михаэля Лаханаса http://www.mlahanas.de/.

Эти слова Архимеда упомянуты в «Хилиадах» Цеца, см. Dijksterhuis 1957. Плутарх просто говорит, что Архимед отказался следовать за воином к Марцеллу, пока не решит задачу, которой был поглощен (Plutarch ca. 75 AD).

Прекрасная книга о трудах Архимеда – «The Works of Archimedes» (Heath 1897). Кроме того, великолепные обзоры приведены в Dijksterhuis 1957 и Hawking 2005.

Чудесное описание истории проекта «Палимпсест» дано в Netz and Noel 2007.

Уилл Ноэл, директор проекта, устроил мне встречу с Уильямом Кристенсом-Барри, Роджером Истоном и Кейт Нокс. Эта группа разработала узкополосную систему построения изображений и придумала алгоритм, при помощи которого можно хотя бы отчасти выявлять текст. Методы обработки изображений разрабатывали также Анна Тонаццини, Луиджи Бедини и Эмануэле Салерно.

Прекрасный рассказ об истории и значении интегрального и дифференциального исчисления см. у Berlinski 1996.

Cicero 1st century BC. Научный анализ текста Цицерона, его структуры, риторических особенностей и символизма см. у Jaeger 2002.

Авторитетная современная биография – S. Drake, «Galileo at Work» (Drake 1978). Более популярное изложение – J. Reston, «Galileo: A Life» (Reston 1994). См. также Van Helden and Burr 1995. Полное собрание сочинений Галилея (на итальянском языке) – Favaro 1890–1909.

Из трактата «La Bilancetta» («Маленькое равновесие»), Galilei 1586

Galileo 1589–1592 (Galilei 1600a and Galilei 1600b). Ч. Б. Шмитт предполагает (Schmitt 1969, вслед за D. A. Maklich), что утверждение Галилея может быть результатом того, что рука, держащая свинцовый шар, устает сильнее, чем рука, держащая деревянный шар, а поэтому разжать пальцы и бросить деревянный шар получается быстрее. Прекрасный обзор верных идей Галилея относительно падающих тел приводят Frova and Marenzana 1998 (перевод на английский вышел в 2006 году). Великолепный рассказ о физических воззрениях Галилея можно найти в Koyré 1978.

Подробный разбор методов и мыслительного процесса Галилея можно найти в Shea 1972 и в Machamer 1998.

Galileo 1589–1592. Галилей выступает со всесторонней критикой Аристотеля в трактате «De Motu». См. Galilei 1600a, b.

Биография Виргинии, которая впоследствии была известна как сестра Мария-Селеста, замечательно изложена в книге Dava Sobel, «Galileo’s Daughter» (Sobel 1999).

Galilei 1610 a, b. Прекрасное описание работы над созданием телескопа можно найти в Reeves 2008.

Swerdlow 1998. Подробнее об открытиях, которые Галилей сделал при помощи телескопа, см. Shea 1972, Drake 1990.

Популярное и весьма увлекательное описание открытий Галилея, а также история телескопа в целом изложены в Panek 1998.

О коперниковских взглядах Галилея подробно рассказано в Shea 1998 и Swerdlow 1998.

Письмо было адресовано тосканскому послу в Праге, однако Галилей приложил к нему анаграмму с просьбой передать Кеплеру.

Он даже написал Галилею: «Молю вас не оставлять нас надолго в сомнениях по поводу значения вашего послания. Ведь вы же сами понимаете, что имеете дело с настоящими немцами. Только представьте себе, как меня огорчает ваше молчание». Цит. по Caspar 1993.

Об этом эпизоде подробно рассказано в Shea 1972.

Сегетт (1570–1627) учился вместе с Галилеем в Падуе. Эпиграмма, написанная на латыни, приводится в «Le Opere» Фаваро (Favaro 1890–1909). Прекрасный обзор стихов о телескопах можно найти в «Современной филологии» Николсона (Nicolson 1935).

Упоминается в «Considerazioni» ди Грациа (1612), приведено также в «Opere di Galileo» Фаваро (Favaro 1890–1909, vol. 4, p. 385).

Вся история споров о природе солнечных пятен прекрасно изложена в Van Helden 1996 и в Swerdlow 1998. См. также Shea 1972.

Антонио Фаваро, редактор всех трудов Галилея, обнаружил, что большие фрагменты рукописи Гвидуччи, содержащие тексты лекций, были написаны почерком Галилея. «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», Galilei 1638.

Превосходный разбор мнений Галилея об отношениях науки и Писания можно найти в Feldberg 1995 и в McMullin 1998.

Приводится также в Gebler 1879.

А богослов Мельчор Кано в 1585 году заявил, что «Не только слова [Писания], но даже каждая запятая его дарована Святым Духом» (Цит. в Vawter 1972).

Подробное описание можно найти у Redondi 1998. «Диалог о двух важнейших системах мира» – Galilei 1632.

Биографий Декарта написано множество. Классической считается Baillet 1691. Мне показались весьма полезными также Vrooman 1970 и достаточно свежее жизнеописание Rodis-Lewis 1998. Bell 1937 дает краткий, но прекрасный обзор. Очень интересны книги Finkel 1898, Watson 2002 и Grayling 2005.

Нет никаких сомнений, что в тот день Декарт и в самом деле повстречал Бекмана, однако Бекман в своем дневнике не пишет ни слова о задаче на доске. Он лишь говорит, что Декарт «всеми силами старался доказать, что в реальности такого угла не существует». См. Gaukroger 2002.

Большинство биографов считают, что сны приснились Декарту в городе Ульм в княжестве Нойбург. Сам Декарт описал их в дневнике, который видели его первые биографы. До нас дошло лишь несколько переписанных отрывков. Сам Декарт рассказывает о впечатлении от этих снов в своем «Рассуждении о методе» (Adam and Tannery 1897–1910). Относительно полное описание снов и их возможных толкований можно найти у Grayling 2005 и Cole 1992.

Письмо Пьеру Шаню, французскому послу в Швеции, а также философу-любителю. Adam and Tannery 1897–1910.

Первоначально он был похоронен на кладбище Норд-Мальме. Когда останки перевозили во Францию, появились слухи, что часть их, в том числе череп, осталась в Швеции (Adam and Tannery 1897–1910). Во Франции останки были сначала похоронены в аббатстве Сен-Женевьев, потом в монастыре августинок. Наконец останки упокоились в часовне Сен-Бенуа собора Сен-Жермен-де-Пре, где находятся и сейчас. Найти могилу было непросто, поскольку я не мог представить себе, что Декарта не похоронят отдельно от всех. На самом деле в той же часовне похоронено еще два бенедиктинца – Мабильон и Монфокон, а стоит там только бюст Мабильона.

Интересная точка зрения приведена у Balz 1952.

Стандартное, авторитетное собрание трудов Декарта – Adam and Tannery 1897–1910. В основном я цитирую именно этот источник. Отдельные работы существуют в разных переводах, например, Veitch’s 1901 «The Philosophy of Descartes», куда входят «Discourse on Method», «Meditations» и «Principles of Philosophy». О философии науки по Декарту см. также Clarke 1992.

Прекрасное введение в философию Декарта в целом можно найти в Cottingham 1986. Обсуждение картезианских сомнений и следующего из них принципа «Cogito» см. у Wolterstorff 1999, Ricoeur 1996, Sorell 2005, Curley 1993 и Beyssade 1993.

Descartes 1637. Один из переводов всей книги целиком – издание P. J. Olscamp (Descartes 1637a). Прекрасный английский перевод «Геометрии» с факсимиле первого издания – «The Geometry of René Descartes» (перевод D. E. Smith, M. L. Latham; Descartes 1637b).

Математические достижения Декарта прекрасно описаны в Rouse Ball 1908. Отличная научно-популярная книга о жизни и деятельности Декарта – Aczel 2005. Уровень абстракции в алгебре Декарта проанализирован в Gaukroger 1992.

Насколько Декарт был убежден в существовании «законов природы», видно из письма, которое он написал Мерсенну в мае 1632 года: «Теперь я осмелел настолько, что ищу причину положения каждой звезды на небосклоне. Ведь хотя распределение их кажется случайным и они находятся в разных частях Вселенной, у меня нет сомнений, что между ними существует некий природный порядок, определенный и периодический».

Adam and Tannery 1897–1910. См. также Miller and Miller 1983. Хорошее всестороннее изложение физики Декарта можно найти в Garber 1992. Более общее описание естественно научных взглядов Декарта см. в Keeling 1968.

Монумент воздвигнут в 1731 году. Он создан фламандским скульптором Михаэлем Райсбраком по поручению Уильяма Кента. Помимо статуи самого Ньютона, который опирается на тома своих трудов, в композицию входят фигуры купидонов с эмблемами важнейших открытий Ньютона. За саркофагом стоит пирамида, на которую водружена сфера с изображением нескольких созвездий, а также траектории кометы 1681 года.

Невозможно сказать наверняка, хотел ли Ньютон этими словами задеть своего корреспондента. Р. К. Мертон обнаружил, что выражение «на плечах гигантов» во времена Ньютона использовалось довольно часто (Merton 1993).

Вся переписка Ньютона издана в собрании Turnbull, Scott, Hall, and Tilling 1959–1977 – поистине титанический труд.

Этот спор подробнейшим образом описан в нескольких превосходных биографиях Ньютона, в том числе Westfall 1983, Hall 1992 и Gleick 2003.

В эссе, опубликованном в 1674 году, Гук писал о гравитации, что ее «притягательная сила действует гораздо сильнее, если приблизить друг к другу центры взаимодействующих тел». То есть мыслил Гук в верном направлении, но не сумел выразить свои соображения математически.

Существует несколько прекрасных переводов ньютоновых «Principia» на английский, в том числе Motte 1729 и Cohen and Whitman 1999 (см. Newton 1729). Самое доступное издание с полезными примечаниями – это отредактированное и дополненное издание Чандрасекара (Chandrasekhar 1995). Концепция закона всемирного тяготения и его история подробно обсуждаются в Girifalco 2008, Greene 2004, Hawking 2007 и Penrose 2004.

Stukeley 1752. Помимо полных биографий, существуют и небольшие книги, описывающие те или иные эпизоды из жизни Ньютона и его родных. Я бы отметил De Morgan 1885 и Craig 1946.

Дэвид Брюстер в биографии Ньютона писал: «Знаменитая яблоня, падение одного из плодов которой, как говорят, привлекло внимание Ньютона к тяготению, года четыре назад была повалена ветром, однако мистер Тернор [владелец дома Ньютона в Вулсторпе] сохранил ее, сделав из нее кресло» (Brewster 1831).

О том, как Ньютон изучал математику, хорошо рассказано в книге Hall 1992.

Эта заметка хранится в архиве графа Портсмута. Есть и другие документы, заставляющие сделать вывод, что Ньютон и в самом деле обдумывал закон всемирного тяготения, обратно пропорционального квадрату расстояния, во время эпидемии чумы. См., например, Whiston 1753.

Исследование причин, по которым Ньютон так долго не публиковал закон всемирного тяготения, см. в Cajori 1928 и Cohen 1982. В следующем разделе мы рассмотрим два самых убедительных, по моему мнению, предположения о том, каковы могли быть эти причины.

Де Муавр вспоминал, что ему рассказывал сам Ньютон.

В числе прочих это предположение высказано в Cohen 1982.

В «Началах» он пишет о Боге так: «Он вездесущ не по свойству только, но по самой сущности… Поэтому он весь – глаз, весь – ухо, весь – мозг, весь – рука, весь – сила чувствования, разумения и действования». В рукописи, созданной в начале 1700 годов, проданной на аукционе «Сотби» в 1936 году и выставленной в Иерусалиме в 2007 году, Ньютон на основании библейской Книги пророка Даниила вычислил дату конца света. Если вас это тревожит, имейте в виду: Ньютон пришел к выводу, что нет никаких причин ожидать Апокалипсиса до 2060 года.

Прекрасное современное изложение истории этих аргументов и оценку ее логической обоснованности можно найти в Dennett 2006, Dawkins 2006 и Paulos 2008.

Исключительно доступное изложение сути математического анализа можно найти в Berlinski 1996, Kline 1967 и Bell 1951. Книга, требующая от читателя некоторой подготовки, но, тем не менее, превосходная – Kline 1972.

Некоторые достижения этой незаурядной семьи изложены в Maor 1994, Dunham 1994. См. также «Bernoulli-Edition» – англоязычную версию проекта можно найти по ссылке http://static.springer.com/sgw/documents/169442/application/pdf/Bernoulli2005web.pdf.

Превосходное описание этой задачи, а особенно – решения, которое предложил Гюйгенс, дано в Bukowski 2008. Решения Бернулли, Лейбница и Гюйгенса приведены в Truesdell 1960.

Прекрасные описания жизни и деятельности Граунта можно найти в Hald 1990, Cohen 2006 и Graunt 1662.

Статья приведена в Newman 1956.

Цит. по Newman 1956. Итог трудам Бернулли подведен в Todhunter 1865.

Две прекрасные книги о Кетле и его трудах – Hankins 1908 и Lottin 1912. Относительно лаконичные, но, тем не менее, информативные заметки можно найти в Stigler 1997, Krüger 1987 и Cohen 2006.

В своей статье о склонности к правонарушениям Кетле писал: «Если бы удалось вывести среднего человека для какого-то народа, он представлял бы тип этого народа, если бы его удалось вывести из случайного собрания людей, он представлял бы весь род человеческий»

О деятельности Гальтона и Пирсона популярно рассказано в Kaplan and Kaplan 2006.

В число недавно опубликованных популярно-развлекательных книг о теории вероятности, ее истории и сферах применения входят Aczel 2004, Kaplan and Kaplan 2006, Connor 2006, Burger and Starbird 2005 и Tabak 2004.

Превосходное краткое и популярное изложение некоторых важнейших принципов теории вероятности можно найти в Kline 1967.

О применимости теории вероятности во множестве реальных жизненных ситуаций прекрасно рассказано в Rosenthal 2006.

Превосходная биография Менделя – Orel 1996.

Mendel 1865. Перевод на английский можно найти, например, на сайте http://www.mendelweb.org.

Краткое описание некоторых его достижений см. в Tabak 2004. Очень хороша оригинальная популярная статья Фишера «Математика дамы, пробующей чай» о методиках постановки экспериментов (Fisher 1956).

Великолепный перевод на английский – Bernoulli 1713b.

Приводится в Newman 1956.

Статья «The Vice of Gambling and the Virtue of Insurance» приведена в Newman 1956.

Памфлет написан в 1734 году. Версия под редакцией Дэвида Уилкинса доступна в Интернете, см. Berkeley 1734.

По Канту, одна из основных задач философии – объяснить возможность синтетического априорного знания математических понятий. Среди прочих работ на эту тему хотелось бы отметить Höffe 1994 и Kuehn 2001. Хороший обзор представлений о применении математики можно найти в Trudeau 1987.

Относительно щадящее введение в евклидову и неевклидовы геометрии см. у Greenberg 1974.

Теоремы, доказанные без пятого постулата, анализируются в Trudeau 1987.

Прекрасное описание всех попыток, которые в конце концов привели к разработке неевклидовой геометрии, можно найти в Bonola 1955.

Жизнь и деятельность Яноша Бойяи описаны в Gray 2004. Портрет математика я не включил в эту книгу, поскольку есть сомнения в том, что на картине, которую обычно приводят, изображен именно он. Очевидно, единственное сколько-нибудь достоверное изображение – это рельеф на фасаде Дворца культуры в городе Тыргу-Муреш.

Факсимиле латинского оригинала и перевод на английский Джорджа Брюса Хальстеда см. в Gray 2004.

Прекрасный рассказ об этом случае с точки зрения жизни и деятельности Гаусса можно найти в Dunnington 1955. Сжатое, но точное описание притязаний Лобачевского и Бойяи на приоритет дано в Kline 1972. Выдержки из переписки Гаусса по поводу неевклидовой геометрии представлены в Ewald 1996.

Перевод на английский этой лекции наряду с другими основополагающими работами по неевклидовым геометриям с полезнейшими примечаниями можно найти в Pesic 2007.

Wallis 1685. Краткое описание жизни и деятельности Валлиса можно найти в Rouse Ball 1908.

Краткая история вопроса дана в Cajori 1926.

Статья вошла в «Энциклопедию» Дидро. Цит. по Archibald 1914.

Прекрасную биографию с описанием научной деятельности Грассмана (на немецком языке) можно найти в Petsche 2006. Краткое изложение его открытий можно найти в O’Connor and Robertson 2005.

Относительно доступное, хотя все же рассчитанное на специалистов описание его трудов по линейной алгебре можно найти в Fearnley-Sander 1979 и 1982.

Хороший ознакомительный текст – Sommerville 1929.

Текст приведен в Ewald 1996.

Высказывания Кантора и Дедекинда приведены в Ewald 1996.

Первое письмо Стилтьеса Эрмиту датировано 8 ноября 1882 года. Переписка математиков состоит из 432 писем. Полностью она приведена в Hermite 1905.

Полный текст лекции приводится в O’Connor and Robertson 2007.

Парадокс деревенского цирюльника описан в самых разных книгах. См., например, Quine 1966, Rescher 2001 и Sorensen 2003.

Russell 1919. Здесь Рассел представляет свои идеи о логике в относительно популярном виде.

Интуиционистская программа Брауэра прекрасно пересказана в van Stegt 1998. Превосходное популярное описание – Barrow 1992. Дебаты между формалистами и интуиционистами популярно описаны в Hellman 2006.

Даммит добавляет, что «индивидуум не может коммуницировать то, что невозможно коммуницировать так, чтобы эту коммуникацию нельзя было пронаблюдать: если индивидуум ассоциирует с математическим символом или формулой какое-то ментальное содержание, то в случае, если ассоциация не лежит в области применения, которое он находит этому символу или формуле, он не может передать содержание средством этого символа или формулы, поскольку его аудитория не будет ничего знать об этой ассоциации, и у нее не будет никакой возможности узнать о ней» (Dummett 1978).

Необычайно простое и доступное введение в логику см. в Bennett 2004. Более специализированное, но все же блистательное – Quine 1982. Хороший обзор истории логики можно найти в 15-м издании «Encyclopaedia Britannica» (его написал Чеслав Леевский).

Сжатое, но глубокое описание жизни и деятельности де Моргана дано в Ewald 1996.

Подробная биография Буля – MacHale 1985.

Буль пришел к заключению, что если речь идет о вере в существование Бога, то основанные исключительно на вере нелогичные «тщетные шаги разума, ограниченного и в средствах, и в материалах познания, не более целесообразны, чем честолюбивые попытки добиться определенности, на почве естественной религии недостижимой».

Frege 1879. Это одна из самых важных работ в истории логики.

Общее изложение идей и языка Фреге см. в Resnik 1980, Demopoulos and Clark 2005, Zalta 2005 и 2007 и Boolos 1985. Прекрасный общий обзор математической логики – DeLong 1970.

Парадокс Рассела, его следствия и возможные выходы из положения обсуждаются, например, в Boolos 1999, Clark 2002, Sainsbury 1988 ии Irvine 2003.

Whitehead and Russell 1910. Популярный, но очень познавательный сжатый пересказ содержания «Оснований» см. Russell 1919.

Сравнение идей Рассела и Фреге см. в Beaney 2003. Обзор логицизма Рассела см. в Shapiro 2000 и Godwyn and Irvine 2003.

Прекрасное разъяснение можно найти в Urquhart 2003.

Теория типов и в самом деле уже не пользуется благосклонностью большинства математиков. Однако очень похожая конструкция постоянно находит себе применение в программировании. См., например, Mitchell 1990.

Описание научных достижений Цермело см. в Ewald 1996.

Переводы статей Цермело, Френкеля и логика Туральфа Скулема на английский язык можно найти в van Heijenoort 1967. Относительно щадящее введение в теорию множеств и систему аксиом Цермело-Френкеля см. в Devlin 1993.

Подробнейшее обсуждение этой аксиомы см. в Moore 1982.

Кантор придумал способ сравнивать мощность бесконечных множеств. В частности, он доказал, что мощность множества вещественных чисел больше, чем множества целых. Затем он сформулировал континуум-гипотезу, согласно которой не существует множества, мощность которого лежит строго между мощностями множеств целых и вещественных чисел. Когда Давид Гильберт в 1900 году составил свой знаменитый список нерешенных проблем математики, вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза, стоял на первом месте. Относительно недавнее обсуждение этой проблемы можно найти в Woodin 2001a, b.

Прекрасное описание программы Гильберта можно найти в Sieg 1988. Превосходный обзор истории математики до наших дней и разбор противоречий между логицизмом, формализмом и интуиционизмом представлены в Shapiro 2000.

Эту лекцию Гильберт прочитал в Лейпциге в сентябре 1922 года. Текст опубликован, в частности, в Ewald 1996.

Хороший обзор формализма как учения – Detlefsen 2005.

Прекрасную биографию Витгенштейна написал Рэй Монк (Monk 1990).

Недавно составленная биография Гёделя – Goldstein 2005. Стандартной биографией считается Dawson 1997.

В число прекрасных книг о теоремах Гёделя, их смысле и связи с другими отраслями знания входят Hofstadter 1979, Nagel and Newman 1959 и Franzén 2005.

Подробное описание философских воззрений Гёделя и того, как он соотносил философские идеи с основами математики, см. в Wang 1996.

Очевидно, что это колоссальное упрощенчество, дозволительное лишь в популярной книге. На самом же деле серьезные попытки оправдать логицизм продолжаются по сей день. Обычно они предполагают, что многие математические истины познаваемы априорно. См., например, Wright 1997 и Tennant 1997.

Интересная книга о вязании морских узлов – Ashley 1944.

Vandermonde 1771. Превосходный обзор истории теории узлов можно найти в Przytycki 1992. Введение в саму теорию, изложенное живо и весело, представлено в Adams 1994. Популярные книги по этой теме – Neuwirth 1979, Peterson 1988 и Menasco and Rudolph 1995.

Прекрасный обзор представлен в Sossinsky 2002 и Atiyah 1990.

Tait 1898, Sossinsky 2002. Краткую и отлично написанную биографию Тэта можно найти в O’Connor and Robertson 2003.

Сугубо научное, но все же элементарное введение в топологию – Messer and Straffin 2006.

В частности, математик Луис Кауфман показал, что есть связь между многочленом Джонса и статистической физикой. Kauffman 2001 – превосходная, однако сугубо научная книга о применении многочлена Джонса в физике.

О теории узлов и роли ферментов прекрасно рассказано в Summers 1995. См. также Wasserman and Cozzarelli 1986.

Великолепное популярное введение в теорию струн и описание всех ее сильных и слабых сторон – Greene 1999, Randall 2005, Krauss 2005 и Smolin 2006. Научное введение в теорию струн – Zweibach 2004.

Atiyah 1989; более подробно – Atiyah 1990.

Основные идеи общей и специальной теории относительности описаны во множестве работ. Перечислю лишь некоторые, особенно мне полюбившиеся: Davies 2001, Deutsch 1997, Ferris 1997, Gott 2001, Greene 2004, Hawking and Penrose 1996, Kaku 2004, Penrose 2004, Rees 1997 и Smolin 2001. Недавно вышла чудесная книга с превосходным описанием и Эйнштейна как человека, и его идей – Isaacson 2007. Однако великолепные книги об Эйнштейне и его мировоззрении, разумеется, публиковались и раньше: Bodanis 2000, Lightman 1993, Overbye 2000 и Pais 1982. Прекрасное собрание статей Эйнштейна – Hawking 2007.

Прекрасное описание можно найти в Weinberg 1993.

Один из лучших обзоров диспутов о природе математики можно найти в Barrow 1992. Несколько более научный, но все же доступный очерк основных идей дан в Kline 1972.

Многие темы этой книги прекрасно раскрыты в Barrow 1992.

Подробнейшее описание понятия золотого сечения, его истории и свойств см. в Livio 2002, а также в Herz-Fischler 1998.

Интересные идеи по этому поводу изложены в статье Иегуды Рава в Hersh 2000.

Популярно об этом рассказано в Hockett 1960.

Доступное и хорошо изложенное обсуждение вопросов нейролингвистики можно найти у Obler and Gjerlow 1999.

Схожесть языка и математики обсуждается в Sarrukai 2005 и Atiyah 1994.

Chomsky 1957. Если вас больше интересует лингвистический аспект, можно найти прекрасное описание в Aronoff and Rees-Miller 2001. Очень интересная научно-популярная точка зрения представлена в Pinker 1994.

Тегмарк выделяет четыре различных типа параллельных вселенных. Вселенные «Уровня I» – это вселенные с теми же законами физики, но иными начальными условиями. На «Уровне II» находятся вселенные с теми же физическими равенствами, но, вероятно, с другими фундаментальными постоянными. На «Уровне III» задействована «многомировая интерпретация» квантовой механики, а на «Уровне IV» – другие математические структуры. Tegmark 2004, 2007b.

Превосходный обзор этой темы см. в Vilenkin 2006.

Некоторые мнения я не обсуждаю. Например, Стейнер (Steiner 2005) утверждает, что Вигнер не доказывает, что примеры, которые он приводит, имеют какое-то отношение к тому, что эти понятия именно математические.

Gross 1988. Более углубленный разбор отношений между физикой и математикой можно найти в Vafa 2000.

См. превосходную статью Херша в сборнике Hersh 2000.

Сочинения самого Кеплера – Kepler 1981 и 1997 – само по себе интереснейшее чтение по истории науки. Существует несколько прекрасных биографий Кеплера, в том числе Caspar 1993 и Gingerich 1973.

Интересное обсуждение применимости математики приведено в Raymond 2005. Глубокий разбор загадки Вигнера с разных точек зрения можно найти в Wilczek 2006, 2007.