К античной эпохе относится возникновение математики как самостоятельной науки. Большой вклад в развитие математики сделал Пифагор (ок. 570 – ок. 500 гг. до н. э.), а также его школа. Пифагор открыл математическую закономерность в музыке и стал основоположником математической акустики. Ему принадлежит заслуга применения математики в астрономии. Свое слово в развитии математики сказали и последователи Пифагора – пифагорейцы. Они сформулировали десять пар противоположных категорий – бинарных оппозиций, соединение которых, по их мнению, обусловило возникновение и поддержание порядка в мире. Знаменитая теорема Пифагора приписывается ему именно потому, что только его школа доказала справедливость ее общей формулировки.
Знаменита своими трудами ионийская школа. Продолжатели ее натурфилософских работ (V–IV вв. до н. э.) впервые выдвинули идею бесконечно малой величины. Эта идея нашла развитие и практическое применение в геометрии в трудах Демокрита и Евдокса Книдского. Последний разработал учение пифагорейской математики, вызванное открытием иррациональных чисел. Построенная им теория включала в себя как отношения целых чисел, так и отношения геометрических отрезков и представляла собой античную форму современной теории действительных чисел. Евдокс Книдский разработал метод исчерпания и применял его для решения математическими средствами парадоксов Зенона. Данный метод оказал заметное влияние на развитие идей о бесконечно малых величинах.
Первую попытку систематизировать достижения в геометрии сделал хиосский математик Гиппократ (ок. 440 г. до н. э.). Он доказал, что существуют определенные плоские фигуры, ограниченные дугами окружности, для которых можно найти прямоугольники равновеликой площади. Открытие Гиппократа послужило началом других исследований в области квадратуры круга. Диофант Александрийский (326–410 гг.) опубликовал «Арифметику», обобщив древнегреческие традиции. В этом трактате были впервые представлены алгебраическая символика, решение неопределенных уравнений в рациональных положительных числах, составлена часть теории чисел. Тем самым были заложены основы первой буквенной алгебраической системы.
Астрономия медленно освобождалась от фантастических представлений, питаемых религиозными традициями и умозрительным характером античной натурфилософии. Последнему противостоял прежде всего накопленный запас наблюдений за видимым движением небесных светил и за другими астрономическими явлениями. Однако даже ионийцы выдвигали в астрономии ряд совершенно произвольных гипотез. По