До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 33

Χ(S) = C - A + V = 2 - 2g.

Этот термин может показаться странным, но его значение (от греч. "гомой- ос" — "похожий" и "морфе" — "форма") хорошо известно всем математикам. Он описывает способность тела получиться из чего-то другого (и наоборот) в результате непрерывной неразрушающей деформации. Например, куб на рисунке гомеоморфен сфере.

Математики, особенно специалисты по топологии, называют тела, переходящие одно в другое в результате простой деформации, не ломаясь, гомеоморфными. Классическим примером гомеоморфных, или топологически эквивалентных, фигур являются кружка и тор, потому что могут циклично переходить друг в друга.

Кружка и тор гомеоморфны по невероятной геометрической причине: у них всего одно отверстие. Количество отверстий в поверхности считается топологическим инвариантом, поскольку не меняется в результате перехода.

Она называется характеристикой Эйлера — Пуанкаре. Это выражение стало очень популярным в математике и используется в таких абстрактных дисциплинах, как гомологическая алгебра. Уравнение

C - A + V = 2 - 2g

было сформулировано в 1813 году Симоном Антуаном Люи- лье (1750-1840), но этим открытием, как мы видели, он обязан Эйлеру.

Переписка между Эйлером и Гольдбахом не прервалась после переезда первого в Берлин. В письме 7 июня 1742 года Гольдбах предположил, что каждое четное целое число является суммой двух целых чисел р и q, которые или были равны 1, или были нечетными простыми числами. Обмен мнениями продолжался, пока Эйлер не нашел окончательную формулировку этой идеи, которая, возможно, является самой известной задачей в истории после теоремы Ферма:

Каждое четное целое число больше 2 может быть представлено как сумма двух простых чисел.

Это и есть проблема Гольдбаха, названная так в честь ее автора, хотя сам он сформулировал ее по-другому. Ее также называют сильной проблемой Гольдбаха — в отличие от слабой проблемы, более простой с математической точки зрения, которая звучит так:

Каждое нечетное число больше 7 может быть представлено как сумма трех нечетных простых чисел.

Сильная проблема включает в себя слабую, но не наоборот.

Доказательство слабой проблемы довольно простое: если п — нечетное число и больше 7, то n = p + 3 > 7, следовательно р четное и р > 7-3 = 4. Если сильная гипотеза Гольдбаха подтверждается, то р — сумма двух простых чисел. Между тем n = р + 3, где р равно сумме двух нечетных простых чисел. Следовательно, п является суммой трех нечетных чисел, что и требовалось доказать. Сильная проблема подразумевает слабую. Сильная проблема Гольдбаха подтверждается для любого четного числа, иногда несколькими способами: