До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 36

РИС. 8

РИС. 10

Впоследствии Ферма сформулировал закон о преломлении света (так называемый закон Снеллиуса), по которому n_>1, sinθ_>1 = n_>2 sinθ_>2 Однако в этом случае пройденное расстояние не было минимальным. Минимальным было время, за которое луч проходит от A до B, а расстояние на самом деле было, как мы сказали бы сегодня, функцией времени: e = v · t, где v — скорость луча света в преломляющей его среде. Таким образом, минимизируется функция ƒ(t) · vt (рисунки 8-9).

Хотя семья Пьера де Мопертюи (1698- 1759) сделала состояние, промышляя пиратством — его отец был корсаром, получившим дворянский титул, — и у Пьера была возможность сделать военную карьеру, он выбрал науку и стал выдающимся математиком, физиком, естествоиспытателем и астрономом. Мопертюи был последователем Ньютона. Приняв участие в экспедиции в далекую Лапландию, чтобы собрать данные о длине земного меридиана, он пришел к выводу, что Земля сплюснута у полюсов, и подтвердил таким образом теорию своего учителя. Мопертюи также первым сформулировал принцип наименьшего действия. Правда, некоторые историки ставили его первенство под вопрос, поскольку считали, что Эйлер узнал об этом принципе раньше и уже использовал его. В отношениях между Мопертюи, одной из главных фигур Прусской академии, и Эйлером были периоды большой напряженности. Согласно некоторым источникам, Мопертюи так писал о швейцарском ученом: "Эйлер... в общем чрезвычайно странный персонаж... это неутомимый и надоедливый человек, который любит вмешиваться во все дела, хотя структура Академии и распоряжения нашего короля запрещают подобные вмешательства".

Вышеуказанная вариация есть не что иное, как инструмент вычисления. Если у(х) — это кривая, которая, проходя через (a, y(a)) и (b, y(b)), отвечает необходимым требованиям, то вариация кривой будет небольшим изменением, что обозначается знаком 8 перед ней (рисунок 10). В 1744-1746 годах Мопертюи сформулировал свой принцип наименьшего действия, который можно сформулировать как "природа экономит свои усилия", поскольку "осуществляет их", выполняя наименьшее из возможных действий. Действие — величина, которую можно определить. Она может быть представлена (хоть это и не единственный способ) как сумма задействованных сил, умноженная на пройденный путь, и именно он должен быть минимальным.

Эйлер изложил свою версию принципа в 1744 году в статье "Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле", которую историки обычно называют по первому слову в оригинальном латинском заголовке, Methodus. Именно она положила начало современному вариационному исчислению.