Поскольку наш мир устроен наисовершеннейшим образом и является творением всеведущего Творца, во всем мире не происходит ничего такого, в чем не было бы воплощено какое-либо правило максимума или минимума.
Эйлер
В 1755 году математик итальянского происхождения Жозеф Луи Лагранж, которому было всего 19 лет, написал Эйлеру длинное письмо, в котором содержалось решение одной задачи с помощью усовершенствованной системы вариационного исчисления. В 1772 году Лагранж с благословения Эйлера, признавшего важность его работы, опубликовал свой метод.
Выражаясь современным языком, вариационное исчисление состоит в приведении в действие принципа наименьшего действия с аналитической точки зрения. Вначале запишем так называемый лагранжиан системы, обозначив его L, причем L = С - Р, то есть разнице между кинетической энергией С и потенциальной энергией Р. Лагранжиан — это функционал, функция от функций. Если ограничиться самым банальным случаем, в котором есть только путь, то есть функция x(t) времени, то лагранжиан будет иметь вид L(x,x',t), где ньютоновским знаком х' обозначается производная от х. Интеграл действия принимает вид:
S = ∫>t0>t1L(x,x',t)dt
и именно его необходимо минимизировать (а в некоторых случаях максимизировать). И Эйлер, и Лагранж, хотя и разными путями, пришли к дифференциальным уравнениям (обычно их бывает несколько) вида
d/dt ∂L/∂x' = ∂K/∂x.
Сегодня их называют уравнениями Эйлера — Лагранжа, и задача сводится к их решению. Уравнения Эйлера — Лагранжа встречаются в учебниках по анализу и в относительно простых условиях трансформируют интеграл действия в частные производные. Они являются центральным элементом вариационного исчисления. В приложении 4 мы приводим их формальный вывод.
Д’АЛАМБЕР И ЕГО ПРИНЦИП
В 1743 году Д’Аламбер (1717-1783) в своем Тгайё de dynamique ("Трактат о динамике") сформулировал принцип аналитической механики, который носит его имя. Согласно этому принципу, в динамической системе сумма виртуальных работ заданных сил и даламберовых сил равна нулю. Такая формулировка позволяет подойти к принципу наименьшего действия или наименьшего усилия и отсылает к Эйлеру, поскольку ведет к уравнениям Эйлера — Лагранжа:
∂L/∂xa - d/dt ∂L/∂xa = 0.
Это фундаментальная формула классической механики, где L — лагранжиан, а хa — так называемые обобщенные координаты системы.
Мудрец своего времени
Д’Аламбер, один из просвещенных умов эпохи, был незаконнорожденным сыном офицера Детуша, который не признал его. Его имя происходит от названия церкви, на ступенях которой его оставили (Сен Жан-Ле-Рон), и от предполагаемого спутника Венеры (Аламбер). Вместе с Дени Дидро