До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 54

Его можно получить с помощью калькулятора. При желании мы можем получить точные цифры, а не приблизительные, но процесс будет немного сложнее.

Ученые получили необыкновенно длинные результаты, выявили малейшие различия между разбиением четных и нечетных чисел (состоящих только из четных или нечетных чисел), изобрели сложнейшие арифметические инструменты. Большая часть удивительных работ Эйлера основана на методах, развитых Абрахамом де Муавром, которые заключаются в игре со степенными рядами. Так он получал то, что в то время называлось производящими функциями последовательности, то есть хитроумные алгебраические трюки, с помощью которых ученые пытались сымитировать реальность. Уже в 1742 году Эйлеру пришла в голову идея найти производящую функцию разбиений, и после долгих лет работы он пришел к ней: оттолкнувшись от ряда

1/(1 - х) = 1 + х + х^>2 + х^>3 + ...,

он вывел формулу

Развивая бесконечное произведение справа, можно доказать, что различные разбиения числа n появляются в скрытой форме в группах степеней меньших n, которые в сумме дают n. Например, возьмем n = 4 и посмотрим, сколько х4 мы получим:

(1 + х + х^>2 + x^>3 + ...) (1 + х^>2 + х^>4 + х^>6 +...)(1 + х^>3 + x^>6 + х^>9+...)...

В результате мы получим 5х4. и следовательно, р(4) = 5. Отсюда Эйлер вывел метод для вычисления р(n), но, к сожалению, это рекурсивный метод, который позволяет вычислить р(n), только если мы знаем предшествующие значения:

р(n) = р(n - 1) +р(n - 2) - р(n - 5) - р(n - 7) + р(n - 12) + р(n - 15) - р(n - 22) - ...

ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ

Эти числа были названы в честь Якоба Бернулли, который впервые рассмотрел их в 1713 году в своем сочинении Ars conjectandi ("Искусство предположений"). Эти числа встречаются при вычислении сумм степеней целых положительных чисел:

1 + 2^>2 + З^>2 + 4^>2 + ... + k^>2

1 + 2^>3 + З^>3 + 4^>3 + ... + k^>3

1 + 2^>4 + З^>4 + 4^>4 + ... + k^>4

1 + 2^>5 + З^>5 + 4^>5 + ... + k^>5,

или, говоря языком Эйлера, вычислении сумм

Мы имеем

где В_>i — числа Бернулли. Чтобы пояснить предыдущую формулу, приведем простой пример — сумму квадратов простых чисел. Применив формулу при р - 2, получим

1^>2+2^>2 + ... + n^>2 = 1/3(B_>0n^>3 + 3B_>1n^>2 + 3B_>2n^>1) = 1/3(n^>3 + 1/2n^>2 + 1/2n).

Эйлер вычислил первые 30 чисел Бернулли. Это грандиозная задача, учитывая, что 30-е число выглядит так:

8615841276005/14322.

Наконец, числа Бернулли появляются в выражении, которое Эйлер вывел для ζ(2n) в ходе дальнейших исследований после решения Базельской задачи. Оно выглядит так:

ζ(2n) = (-1)^>n+1(2π)^>2nB_>2n/2(2n)!.

Числа Бернулли используются в современной записи формулы суммирования Эйлера — Маклорена, хотя сам Эйлер их не заметил, когда применил формулу, чтобы приблизительно сосчитать значение