До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 57

М_>Р ≡ 2^>Р - 1,

были названы числами Мерсенна. Сегодня существует генератор псевдослучайных чисел, связанных с простыми числами Мерсенна, который носит имя ученого, — вихрь Мерсенна.

Эйлер хотел найти простые числа больших размеров. Многие математики до него ошибочно предполагали, что все числа М_>р вида М_>р = 2^>р - 1, где Р — простое число, простые. Пьетро Катальди (1548-1626) в 1588 году доказал, что M_>17 и М_>19 простые, при помощи немного устаревшего, но стандартного для того времени метода, состоявшего в том, чтобы попытаться разделить их на простые числа, меньшие их квадратного корня. Впоследствии Марен Мерсенн, в честь которого эти числа обозначаются буквой М, составил целый список предполагавмых простых чисел, оказавшийся неточным, так как М_>67 и М_>257 повторялись два раза, а M_>61, M_>89 и M_>107 в нем не было. Сегодня самым большим числом является M_>43112609, в котором 12978189 цифр, в полном виде оно займет 50 таких книг, как эта.

В 1772 году Эйлер доказал, что число M_>31 простое. Любопытно, что прошло более 100 лет, прежде чем было найдено следующее простое число — M_>127. Сделал это французский математик Эдуард Люка (1842-1891) в 1876 году. Также простыми являются M_>61 и M_>89, но они были открыты позже. Таким образом, на протяжении 104 лет Эйлеру принадлежал рекорд по открытию самого большого простого числа.

Квадратичный закон взаимности, превосходно сформулированный Гауссом в его Disquisitiones arithmeticae ("Арифметические исследования"), появился у Лежандра и Эйлера, который рассказал о нем Гольдбаху в письме 1742 года. Для начала определим, что такое символы Лежандра (p/q).

Предположим, что p и q — разные простые нечетные числа и

(p/q) =

0, если р ≡ 0 (mod q)

1, если х^>2 ≡ р (mod q) разрешимое уравнение

-1, если х^>2 ≡ p (mod q) неразрешимое уравнение.

Таким образом, Гауссу, а не Эйлеру, удалось доказать, что

(p/q) =

(q/p), если q ≡ 1 (mod 4)

(-q/p), если q ≡ 3 (mod 4)

Это можно выразить, хотя это и непросто, в одной формуле. Гаусс сделал это открытие в 19 лет и так гордился им, что назвал его aurum theorema — "золотой теоремой".

Делитель d произвольного числа n называется собственным делителем n, если 1 ≤ d < n. Число n — несобственный делитель n. Первое серьезное исследование Эйлера в области дружественных чисел относится к 1747 году. Два числа считаются дружественными, если сумма собственных делителей одного равна другому и наоборот. Это арифметическое понятие "дружбы" можно проиллюстрировать следующим примером. Возьмем числа 220 и 284. Собственными делителями 220 будут 1, 2, 4, 10,11,20,22,44,55 и 110; а 284 -1,2,4,71 и 142. Получаем, что