В настоящее время известно, что закон Бенфорда применим ко всем видам данных, которые не догадался проверить даже сам неутомимый автор. Известно также, что закон Бенфорда не применим ко многим числовым комбинациям (телефонные номера, обозначение возраста и веса, номера карточек социального страхования, коэффициенты умственного развития, победившие номера лотерейных розыгрышей и почтовые индексы). Примером может служить вес взрослых американцев. Совершенно очевидно, что 1 – самая распространенная первая цифра, ее доля гораздо выше, чем 30 процентов, предсказанных законом Бенфорда. Самая редкая – шестерка, даже реже, чем в распределении Бедфорда: немногие мужчины весят от 60 до 69 и от 600 до 699 фунтов.
Неприменим закон Бенфорда и к назначенным номерам, таким как номер телефона или карточки социального страхования. Тот, кто назначает номера, использует все или почти все возможные варианты. Номера, начинающиеся на 1, встречаются так же часто, как и те, которые начинаются с любой другой цифры.
Те, кто обладает математической интуицией, могут прийти к тому же выводу самостоятельно. Для всех остальных это неразрешимая загадка. Почему закон Бенфорда применим к номерам домов на улице, но не применим к почтовым кодам? Откуда в газете New York Times знают, будто числа, начинающиеся на 1, нужно упоминать в шесть раз чаще, чем те, которые начинаются на 9?
Закон Бенфорда справедлив для некоторых чисел, отражающих результаты измерений, например, городского населения или сумм, списанных с кредитных карт. Попробуем привести быстрое и интуитивное объяснение. Представьте, что вы положили на счет для инвестиционных операций 1000 долларов, которые удваиваются каждые десять лет. Первая цифра баланса вашего счета будет оставаться 1 на протяжении первых десяти лет. Сумма будет увеличиваться до 1100, 1200, 1300 долларов и так далее, до 1900, пока в конце первого десятилетия не достигнет 2000 долларов.
До следующего удвоения пройдет еще 10 лет. За это время сумма на счете постепенно увеличится с 2000 до 3000, а затем до 4000 долларов. Это значит, что на 2 и 3 в качестве первых цифр баланса счета приходится столько же времени, сколько на цифру 1.
В третьей декаде сумма на счете увеличится с $4000 до $8000, причем первыми цифрами будут 4, 5, 6 и 7. На протяжении четвертого десятилетия сумма увеличится до 16 000, и первыми цифрами сначала будут 8 и 9, а остальное время снова 1.
Итак, в сумме на инвестиционном счете 1 будет присутствовать больше времени, чем 2, 2 больше, чем 3, и так далее. Если выбрать случайный момент времени, то вероятность каждой из девяти цифр оказаться на первом месте будет точно соответствовать распределению Бенфорда.