5. Электричество и магнетизм (Фейнман) - страница 24
ТЕОРЕМА
Если С·D = 0,
то имеется С, (2.51)
такое, что D = СXC.
Перебирая всевозможные сочетания двух операторов у, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию С· (СT), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты
Далее,
(2.52)
что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скалярное поле.
Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться:
(2.53)
Можно рассматривать С>2 как новый оператор. Это скалярный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лапласиан.
(2.54)
Раз оператор лапласиана —оператор скалярный, он может действовать и на вектор. Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора
Рассмотрим еще одну возможность: СX(СX h) [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если использовать векторное равенство (2.6)
АX(ВXС) = В(А·С)-С(А·В). (2.55)
Заменим в этой формуле А и В оператором у и положим C=h. Получится
СX(СXh) = С(Сb)-h(С·С)...???
Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы (операторы утолили свою жажду), но последний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов. Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде
АX(ВXС) = В(А·С) -(А·В)С. (2.56)
Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится
СX (СXh) = С (Сh)-( С·С)h. (2.57)
С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать
СX (СXh) = С(С·h)- С>2h. (2.58)
Из нашего списка (2.45) двойных С мы разобрали все комбинации, кроме (в), С(С·h). В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь расчете.
Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:
(2.59)
Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор СХС. Понимаете, почему?
§ 8. Подвохи
Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора y Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нужно упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о следующем выражении, куда входят две скалярные функции ш и j (фи):
Вы можете подумать, что это нуль, потому что оно похоже на
(Аa)X(Аb),