5. Электричество и магнетизм (Фейнман) - страница 25

а это всегда равно нулю (векторное произведение двух одина­ковых векторов АXА всегда нуль). Но в нашем примере два оператора С отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, ш, а второй — на другую, j. И хотя мы изображаем их одним и тем же значком у, они все же должны рассматри­ваться как разные операторы. Направление Сш зависит от функ­ции ш, а направление Сj — от функции j, так что они не обя­заны быть параллельными:

(Сш)X(Сj)№0 (в общем случае).

К счастью, к таким выражениям мы прибегать не будем. (Но сказанное нами не меняет того факта, что СjXСm =0 в любом скалярном поле: здесь обе Сдействуют на одну и ту же функцию.) Подвох номер два (он тоже в нашем курсе не встретится): правила, которые мы здесь наметили, выглядят просто и красиво только в прямоугольных координатах. Например, если мы хо­тим написать x-компоненту выражения С^>2h, то сразу пишем

(2.60)

Ио это выражение не годится, если мы ищем радиальную ком­поненту С^>2h. Она не равна С^>2h_>r. Дело в том, что в алгебре век­торов все их направления полностью определены. А когда мы имеем дело с векторными полями, то их направления в разных местах различны. Когда мы пробуем описать векторное поле, например, в полярных координатах, то «радиальное» направле­ние меняется от точки к точке. И начав дифференцировать ком­поненты, вы запросто можете попасть в беду. Даже в постоян­ном векторном поле радиальная компонента от точки к точке меняется.

Обычно безопаснее и проще всего держаться прямоугольных координат. Но стоит упомянуть и одно исключение: поскольку лапласиан С^>2 есть скаляр, то можно писать его в любой системе координат (скажем, в полярных координатах). Но так как это дифференциальный оператор, то применять его надо только к векторам с фиксированным направлением компонент, т. е. к заданным в прямоугольных координатах. Итак, расписывая наши векторные дифференциальные уравнения покомпонентно, мы будем предварительно выражать все наши векторные поля через их х-, у-, z-компоненты.

* В наших обозначениях выражение (а, b, с) представляет вектор с компонентами а, b, с. Если вам нравится пользоваться единичными векторами i, j и k, то можно написать

* Мы рассматриваем h как физическую величину, зависящую от по­ложения в пространстве, а не как заданную математически функцию трех переменных. Когда h «дифференцируется» по х, у и z или по х', у' и z', то математическое выражение для h должно быть предварительно выраже­но в виде функции соответствующих переменных, Поэтому в новой си­стеме координат мы не отмечаем h штрихом.