3. Излучение. Волны. Кванты (Фейнман) - страница 14

-d^>2=h^>2или (s-d) (s+d)=h^>2. Но s-d=D, a s+d~2s. Таким образом,

(27.1)

Вот и все, что нам нужно знать из геометрии для изучения изоб­ражений, получаемых с помощью кривых поверхностей!

§ 2. Фокусное расстояние для сферической поверхности

Рассмотрим сначала простейший пример преломляющей поверхности, разделяющей две среды с разными показателями преломления (фиг. 27.2). Случай произвольных показателей

Фиг. 27.2. Фокусировка на преломляющей поверхности.

пусть разберет читатель самостоятельно; нам важно рассказать об идее, задача же достаточно проста и ее можно решить в лю­бом частном случае. Итак, пусть слева скорость света равна 1, а справа 1/n, где n — показатель преломления. Свет в стекле идет медленнее в n раз.

Теперь представим себе точку О на расстоянии s от лицевой поверхности стекла и другую точку О' на расстоянии s' внутри стекла и попытаемся выбрать кривую поверхность так, чтобы каждый луч, вышедший из О и попавший на поверхность в Р, приходил в точку О'. Для этого нужно придать поверхности такую форму, чтобы сумма времени прохождения света на пути от О к Р (т. е. расстояние ОР, деленное на скорость света, равную единице) плюс n-О'Р, т.е. время на пути от Р к О', было по­стоянной величиной, не зависящей от положения точки Р. Это условие дает уравнение для определения поверхности. В ре­зультате получается весьма сложная поверхность четвертого порядка (читатель может вычислить ее для собственного удоволь­ствия с помощью аналитической геометрии). Проще рассмотреть специальный случай s® Ґ, когда кривая получается второго порядка и ее легче определить. Интересно сравнить эту кри­вую с кривой для фокусирующего зеркала (когда свет приходил из бесконечности), которая, как вы помните, оказалась параболой.

Итак, нужную поверхность сделать нелегко; чтобы сфокуси­ровать свет от одной точке в другую, нужна довольно сложная поверхность. Практически такие сложные поверхности даже не пытаются создать, а пользуются компромиссным решением. Мы не будем собирать все лучи в фокус, а соберем только лучи, достаточно близкие к оси 00'. Раз идеальная форма поверхности столь сложна, возьмем вместо нее сферическую поверхность, которая имеет нужную кривизну у самой оси, и пусть далекие лучи отклоняются от оси, если они того хотят. Сферу изготовить намного проще, чем другие поверхности, поэтому выберем сферу и рассмотрим поведение лучей, падающих на сферическую по­верхность. Будем требовать точной фокусировки только для тех лучей, которые проходят вблизи от оси. Иногда эти лучи называ­ют параксиальными, а наша задача — найти условия фокуси­ровки параксиальных лучей. Позже мы обсудим ошибки, свя­занные с отклонением лучей от оси.