3. Излучение. Волны. Кванты (Фейнман) - страница 43
Перейдем к следующему максимуму и покажем, что он действительно, как мы и ждали, много меньше первого. Для точного определения положения максимума необходимо учитывать, что и числитель, и знаменатель в (30.3) оба меняются с изменением j. Мы не станем этого делать, поскольку при большом n sinj/2 меняется медленнее sinj/2 и условие sinj/2 =1 дает положение максимума с большой точностью. Максимум sin>2nj/2 достигается при nj/2=Зp/2 или j= Зp/n. Это означает, что стрелки векторов описывают полторы окружности.
Подставляя j=3p/n, получаем sin>23p/2=l в числителе (30.3) (с этой целью и был выбран угол j) и sin>23n/2n в знаменателе. Для достаточно большого n можно заменить синус его аргументом: sin Зp/2n =3p/2n. Отсюда интенсивность во втором максимуме оказывается равной I=I>0 (4n>2/9p>2). Но n>2I>0 — не что иное, как интенсивность в первом максимуме, т. е. интенсивность второго максимума получается равной 4/9p>2 от максимальной, что составляет 0,047, или меньше 5%! Остальные максимумы, очевидно, будут еще меньше. Таким образом, возникает очень узкий основной максимум и очень слабые дополнительные максимумы по обе стороны от основного.
Фиг. 30.2. Зависимость интенсивности от фазового угла для большого числа осцилляторов с одинаковыми амплитудами.
Фиг. 30.3. Устройство из n одинаковых осцилляторов, расположенных на линии. Фаза колебания s-го осциллятора равна a>s=sa.
Можно показать, что площадь под кривой интенсивности, включая все максимумы, равна 2pnI>0 и в два раза превышает площадь пунктирного прямоугольника на фиг. 30.2.
Посмотрим теперь, что дает формула (30.3) в приложении к разным случаям. Пусть источники расположены на одной линии, как показано на фиг. 30.3. Всего имеется n источников на расстоянии d друг от друга, и сдвиг фазы между соседними источниками выбран равным а. Тогда для лучей, распространяющихся в заданном направлении Э, отсчитываемом от нормали, вследствие разности хода лучей от двух соседних источников возникает
дополнительный сдвиг фазы 2pd(1/l)sinq. Таким образом,
(30.4)
Рассмотрим сначала случай a=0. Все осцилляторы колеблются с одной фазой; требуется найти интенсивность их излучения как функцию угла В. Подставим с этой целью j=kdsinq в формулу (30.3) и посмотрим, что получится в результате. Прежде всего, при j=0 возникает максимум. Значит, осцилляторы, колеблющиеся с одной фазой, дают мощное излучение в направлении 0 =0. Интересно узнать, где находится первый минимум.
Он возникает при j=2p/n; другими словами, первый минимум кривой интенсивности определяется из соотношения (2pd/l)sinq