3. Излучение. Волны. Кванты (Фейнман) - страница 42

где j — разность фаз соседних осцилляторов для некоторого направления лучей. В данном частном случае j=a+2pd^>1/_>2sinq. Вычислим сумму R. Для этого воспользуемся геометрическим способом сложения. Длина первого слагаемого А,а его фаза равна нулю; длина второго также А, а фаза его равна j. Следующее слагаемое имеет снова длину А и фазу, равную 2j, и т. д. В конце концов получается часть правильного много­угольника с n сторонами (фиг. 30.1).

Фиг. 30.1. Результирующая ам­плитуда шести аквидистантных источников при разности фаз j между каждыми двумя соседними источниками.

Вершины многоугольника лежат, конечно, на окружности, и чтобы легче было определить результирующую амплитуду, найдем радиус этой окружности. Пусть Q есть ее центр. Тогда угол OQS равен как раз фазе j (поскольку радиус QS образует с А_>2 такой же угол, как QO с a_>1). Следовательно, радиус r дол­жен удовлетворять равенству А = 2rsinj/2, откуда мы и на­ходим величину r. Далее, большой угол OQT равен nj; следо­вательно, A_>R=2rsinnj/2. Исключая из обоих равенств г, получаем

(30.2)

Таким образом, суммарная интенсивность оказывается равной

(30.3)

Проанализируем это выражение и обсудим вытекающие из него следствия. Прежде всего, положив n =1, получим, как и следовало ожидать, I = I_>0. Проверим формулу для n=2: с помощью соотношения sinj=2sin j/2cosj/2 сразу находим А_>R = 2Acosj/2, что совпадает с (29.12).

Мы вынуждены рассматривать сложение полей от многих источников потому, что в этом случае интенсивность в одном направлении получается много больше, чем в соседних, т. е. все побочные максимумы интенсивности оказываются гораздо меньше основного. Чтобы понять этот факт, начертим кривую соответствующую выражению (30.3) для больших n и j, близ­ких к нулю. Прежде всего, когда j точно равно нулю, мы полу­чаем отношение О/О, но фактически для бесконечно малых j отношение синусов равно n^>2, так как синус можно заменить его аргументом. Таким образом, максимум кривой в n^>2раз больше интенсивности одного осциллятора. Этот результат легко по­нять, поскольку при нулевой разности фаз все n маленьких векторов складываются в один вектор, в n раз больший исход­ного, а интенсивность увеличивается в n^>2 раз.

С ростом фазы j отношение двух синусов падает и обращается в нуль в первый раз при nj/2 = p, поскольку sinp=0. Дру­гими словами, значение j=2p/n отвечает первому минимуму кривой (фиг. 30.2). С точки зрения векторов на фиг. 30.1 первый минимум возникает в том случае, когда стрелки векторов воз­вращаются в исходную точку, при этом полная разность фаз от первого до последнего осциллятора равна 2л.