В детстве наиболее запомнившимся занятием было чтение. Приблизительно десяти лет от роду пережил сильное увлечение историей — читал все, что мог достать. Возможно, под влиянием тех книг, которые оказались доступны, наиболее привлекательными разделами стали античность и русская история. В 12–13 лет главной областью интересов стала математика (хотя любовь и интерес к истории сохранились на всю жизнь). В последних классах школы получил разрешение сдать экзамены экстерном на механико-математическом факультете Московского университета. Окончил МГУ, поступил в аспирантуру и защитил кандидатскую диссертацию. С тех пор (с 1942 года) и до настоящего времени работает в одном и том же научном центре — в Математическом институте им. В.А. Стеклова Академии наук: докторантом, старшим научным сотрудником, заведующим отделом алгебры (более тридцати лет), а сейчас — советником Российской академии наук (форма отставки). Работал в нескольких разделах математики: алгебра, теория чисел, алгебраическая геометрия. Собрание математических сочинений издано по-английски в 1989 году, по-русски — в 1996-м. Лауреат Ленинской премии. Академик Российской академии наук, почетный член нескольких иностранных Академий наук и научных обществ. В знак протеста против агрессивной политики США в Ираке вышел из числа иностранных членов национальной Американской академии наук.
По совместительству преподавал на механико-математическом факультете МГУ с 1944 по 1975 год. 35 его учеников защитили кандидатские диссертации, со временем более половины из них — докторские; трое являются членами-корреспондентами Российской академии наук.
В 1960-е годы начал записывать свои соображения, связанные с положением страны, ее будущим и прошлым. Они распространялись в виде самиздата. Первым было «Законодательство о религии в Советском Союзе», отражавшее положение Православной Церкви после хрущевских гонений. В 1974 году вместе с А.И. Солженицыным участвовал в сборнике «Из-под глыб», где, в частности, в статье «Обособление или сближение? (Национальный вопрос в СССР)» высказал предположение, что опыт народов России удержит их от того, чтобы их дом был разрушен классовой рознью, но что это вполне может сделать рознь национальная. Предсказание это, к сожалению, вполне с тех пор оправдалось и продолжает оправдываться.
Самиздатские публикации стали причиной увольнения из МГУ в 1975 году.
В начале 1980-х годов написал работу «Русофобия», посвященную анализу идеологических течений тогдашней интеллигенции. Работа разошлась в самиздате. В этой работе автор рискнул коснуться русско-еврейских отношений, из-за чего она вызвала бурную реакцию и в России, и на Западе.