В основе всех этих вопросов лежит одно из самых невероятных и глубоких понятий — бесконечность.
Почти все области математики являются результатом долгих исторических процессов, десятки или сотни лет они развивались благодаря множеству ученых, и трудно, если не невозможно, однозначно указать на одного зачинателя. Так, корни геометрии и алгебры уходят в Древний Египет и Месопотамию, а более «молодые» разделы науки, например методы счисления, выведены в конце XVII века одновременно и независимо друг от друга англичанином Исааком Ньютоном и немцем Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем. Правда, они выразили идеи, которые их предшественники изучали веками (мы подробнее рассмотрим это в главе 3).
Однако математическая теория бесконечности (и теория множеств — как мы увидим, в сущности это одно и то же) появилась благодаря таланту и воображению единственного человека, создавшего ее фактически из ничего, — математика русско-немецкого происхождения Георга Кантора.
Можно даже назвать конкретную дату, когда произошел творческий прорыв, приведший Кантора к этой теории. Он писал 5 ноября 1882 года своему другу и коллеге Рихарду Дедекинду:
«[...] после наших недавних встреч в Гарцбурге и Эйзенахе [немецких городах, где они виделись в сентябре 1882 года] по воле всемогущего Бога меня озарили самые удивительные, самые неожиданные идеи о теории ансамблей и теории чисел [он имеет в виду, как мы увидим в главе 4, бесконечные числа]. Скажу больше, я нашел то, что бродило во мне в течение долгих лет».
Как же Кантор пришел к этим «удивительным открытиям»? Что послужило началом «брожения»? Чтобы понять это, мы шаг за шагом проследим путь его идей. Начнем, как и полагается, сначала.
ИЗ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА В ГАЛЛЕ
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 года в Санкт-Петербурге. Его отец, Георг Вальдемар Кантор, успешный торговец, датчанин по происхождению, был очень религиозен и ценил культуру и искусства. Мать, Мария Анна Бойм, дочь русских скрипачей, сама виртуозно играла на скрипке. Георг унаследовал ее музыкальный талант и годы спустя, то ли в шутку, то ли всерьез, сокрушался, что отец не позволил ему стать профессиональным скрипачом.
Музыка и искусство всегда были важны для Кантора. Он считал, что математика и искусство не так уж далеки друг друга и что математик должен обладать и творческой жилкой (это мнение разделяли многие его современники, а также автор этих строк). Так, в 1833 году он написал статью, в которой упоминал об «удивительных открытиях» (позже он рассказал о них в письме Дедекинду); среди прочего в ней были такие слова: «Вся общность математики заключается в ее свободе» (курсив Кантора). В ней же он писал: