Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир (Литвак, Райгородский) - страница 13

Работы американского математика Джорджа Данцига появились в конце 1940-х годов – несколько позже, чем работы Канторовича. Тем не менее Данцига тоже по праву относят к основателям линейного программирования. Именно он придумал так называемый симплекс-метод, позволивший с помощью компьютера быстро решать задачи линейного программирования с большим количеством переменных и ограничений.

Симплекс-метод, сильно улучшенный и усиленный другими методами, по-прежнему остается неотъемлемой частью современного программного обеспечения.

Подробности симплекс-метода выходят за рамки этой книги, но мы постараемся объяснить его суть на нашем маленьком примере.

Для начала давайте посмотрим, какие в принципе значения могут принимать переменные, чтобы не нарушить наших ограничений. Например, мы можем взять АЮ = 58, БЮ = 8. В этом случае получается решение, которое мы записали в виде табл. 2.2.

Таблица 2.2. Пример решения, где АЮ = 58, БЮ = 8

Ограничения выполнены, и оба клиента получили заказанное количество листов.

Но это не единственное решение. Например, мы могли отправить больше листов с дешевого южного склада клиенту А, скажем 60 листов, и 10 листов клиенту Б. Легко увидеть, что доставка клиенту А теперь обойдется в

5×60=300 руб.,

а доставка клиенту Б будет стоить

10×10+30×15=550 руб.

Тогда общая стоимость получается не 864, а 850 рублей, то есть немного меньше, чем указано в табл. 2.2.

Чтобы не выбирать наугад, нужно посмотреть на все возможные решения, которые удовлетворяют ограничениям. Мы их изобразили на рис. 2.1. По оси х мы откладываем АЮ, а по оси у – БЮ. Любая точка в заштрихованной области удовлетворяет ограничениям. В том числе точка (58,8), как в таблице выше.

Рис. 2.1. Решения, удовлетворяющие ограничениям

Примечание: любая точка в заштрихованной области удовлетворяет всем ограничениям. Точка (58,8) это решение из таблицы выше. Угловые точки (25,40), (30,40), (60,10) и (60,5) кандидаты на оптимальное решение (см. объяснение в тексте).

Ниже во врезке мы объясняем, как получилась заштрихованная область. Объяснения соответствуют уровню средней школы. При желании их можно пропустить.