Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир (Литвак, Райгородский) - страница 49

Рис. 6.2. Шифр y = f (x), который сложно расшифровать, даже зная преобразование f

Если задуматься, станет ясно, что придумать подходящую функцию f и главное доказать, что она обладает нужными свойствами, вовсе не легко! Почему «главное – доказать»? Совсем не потому, что математики так уж любят доказательства. А потому, что тогда мы точно будем знать, что хитроумная Ева не сможет взломать шифр. Против математических доказательств Ева бессильна.

Оказывается, такие преобразования f есть. Более того, можно сделать так, чтобы Боб и Алиса могли расшифровывать сообщения, а Ева – нет! Пока не доказано, что задача расшифровки абсолютно безнадежна. Но известно, что она относится к определенной категории трудных задач, эффективное решение которых еще не найдено. Именно эти шифры используются для обмена секретными ключами, чтобы установить безопасную связь через интернет. Для построения таких шифров требуется глубокая математика. В данном случае – теория чисел.

Как вы уже поняли, шифрование имеет дело с числами и преобразованиями чисел. Этими вопросами в математике занимается теория чисел, один из классических, даже древних разделов математики. Казалось бы, зачем изучать числа? Лучшие математические умы занимались этой наукой, движимые чистым любопытством. Просто потому, что математики любят числа и любят отыскивать их скрытые закономерности. Умственные изощрения математиков с веками усложнялись без какой-либо перспективы для серьезного применения. И вдруг…

И вдруг в XX веке весь мир перешел на цифровые технологии! Наш бизнес, наше информационное обеспечение, даже наше общение и, конечно, наши секреты – все кодируется, шифруется и пересылается в виде чисел! Любимое хобби математиков неожиданно превратилось в жизненно важный источник знаний об основе современной жизни – числе.

В теории чисел особую роль играют так называемые простые числа. Простые числа знакомы нам со школы. Это числа, которые делятся только на единицу и на само себя. Многие узнают этот знаменитый ряд:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

Все простые числа, кроме двойки, нечетные. И это понятно, потому что четные числа делятся на два.

Еще со времен древнегреческого математика Евклида известно, что простых чисел бесконечное множество. Однако устроены они крайне сложно, и в теории чисел было брошено немало усилий на изучение их свойств. Ниже во врезке для интересующегося читателя мы приводим несколько любопытных фактов, касающихся простых чисел. Этот материал не требует математической подготовки, но и не влияет на наш дальнейший рассказ, поэтому при желании можете его пропустить.