Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир (Литвак, Райгородский) - страница 51
Рис. 6.3. Преобразование по схеме Диффи – Хеллмана x → f (x). Числа g и р известны, а число х выбрала Алиса
Здесь принципиально важно, что р простое число, а g меньше р, потому что в этом случае g>х на р не делится, то есть остаток от деления не может быть нулем. Есть и более глубокие причины, почему р должно быть простым. Кроме того, для заданного р есть набор «подходящих» g[16].
Получив остаток от Боба, Алиса возводит его в степень х и снова берет остаток от деления на р. В нашем маленьком примере Алиса получила от Боба число 9, а Боб от Алисы число 7. Тогда у Алисы получается:
[остаток от деления 9>6 на 19] = 11.
Боб действует аналогично. Он получил остаток от Алисы, и у него есть известный ему одному у (даже Алиса его не знает!). Он возводит полученный от Алисы остаток в степень у и снова берет остаток от деления на р:
[остаток от деления 7>8 на 19] = 11.
Это то же самое число 11, что и у Алисы!
Естественно, это неслучайно. Математически нетрудно показать, что Алиса и Боб получат одинаковое число при любых р, g, x, и у[17].
Зашифровать можно. Расшифровать нельзя!
Вычисление f(x) по схеме Диффи – Хеллмана – сравнительно быстрая операция, которую можно осуществить и на домашнем компьютере, даже если р огромное, скажем стозначное число. Тем не менее лучшие математики мира вот уже несколько десятилетий бьются над построением алгоритма, который, наоборот, по остатку от деления на р выдавал бы значение х. И ничего не получается!
Самые быстрые алгоритмы работают месяцы, даже будучи параллельно запущенными на тысячах мощных компьютеров по всему миру. Ниже мы расскажем о совсем недавней наиболее успешной попытке решения. Но, как мы увидим, этот метод тоже не «быстрый», а скорее «в принципе выполнимый» и сильно опирается на конкретную имплементацию шифра.
Конечно, это не значит, что по-настоящему быстрого алгоритма не существует. Но задача оказалась настолько сложной, что схема очень активно используется на практике, и если выбрать число р по-настоящему большим, то можно не бояться взлома шифра.
В нашем маленьком примере у Алисы и Боба после открытого обмена сообщениями появился общий секретный ключ, число 11. С его помощью Алиса и Боб могут спокойно зашифровывать и расшифровывать сообщения и передавать их друг другу. Но Еве этот ключ не заполучить, потому что она не сможет вычислить ни x, ни у.
Красота схемы в том, что Алиса и Боб обмениваются ключами через открытый канал. Ева может перехватить все сообщения до одного, но ей это ничего не даст!