Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир (Литвак, Райгородский) - страница 83

Как определить такое число g, чтобы все остатки в выражении (П.15) были разные? Число g обладает этим свойством, если оно является первообразным корнем числа р. Мы позволим себе рассказать об этом понятии немножко подробнее.

Есть такая теорема Эйлера: если х и m взаимно просты, то g^>φ(m) ≡ 1. Здесь a ≡ b, если a − b делится на m. Другими словами, у а и b одинаковый остаток от деления на m. А φ(m) это функция Эйлера, равная количеству чисел, не превосходящих m и взаимно простых с ним. Например, если m = p, где р простое, то φ(p) = p − 1 и теорема Эйлера превращается в малую теорему Ферма.

Условие теоремы Эйлера достаточное, но не необходимое. Вполне может случиться и так, что x^>a ≡ 1 (mod m), хотя a < φ(m). Самый простой пример такой ситуации – это, конечно, x = 1. Действительно, x^>a ≡ 1 (mod m) для любых натуральных a и m. Но есть и менее тривиальные примеры. Скажем, p = 5, а 4² = 16 ≡ 1(mod 5), хотя 2 < p − 1 = 4.

Формально число g называется первообразным корнем по модулю m, если

Пример (отсутствие первообразных корней уm = 2^>k). Возьмем m = 2^>k при k ≥ 3. В этом случае можно показать, что для любого натурального х выполняется

При этом φ(m) = 2^>k−1, потому что числа, взаимно простые со степенью двойки, – это все нечетные числа, а их ровно 2^>k−1. Значит, для любого х нашлось число

a = 2^>k−2 < 2^>k−1 = φ(m),

для которого выполняется x^>a ≡ 1 (mod m). Получается, что у m = 2^>k при k ≥ 3 первообразных корней нет.

Теперь мы можем объяснить, почему в качестве m удобно брать простое число р. Для простого р всегда существуют первообразные корни. На самом деле мы уже говорили о них выше, в приложении 2 к главе 6, только не называли этим термином. Это те самые числа g, которые дают разные остатки от деления на p в (П.15). Например, при p = 3 это g = 2, при p = 5 это g = 2, а при p = 7 это g = 3. В нашем примере в тексте главы число g = 2 – это один из первообразных корней числа p = 19.

Итак, если g – первообразный корень p, то все остатки в (П.15) разные и каждому остатку соответствует единственная степень х (дискретный логарифм, он же индекс), при которой такой остаток получается. Ничего подобного мы не можем сделать, если будем брать остаток от деления на число m, для которого первообразного корня нет. Именно поэтому работают с простыми числами.

Заметим, что первообразные корни есть еще для m = 4, m = p^>k и m = 2p^>k. Но все равно с простыми числами работать проще.

Назад к Главе 6