Однако, несмотря на бесспорный прогресс в навигации, сколько-нибудь точное определение координат судна оставалось весьма непростой задачей вплоть до конца XVIII столетия. Чтобы правильно рассчитать местонахождение корабля, надо знать его географическую широту (то есть расстояние от экватора к северу или югу) и географическую долготу, то есть расстояние к востоку или западу от выбранного меридиана. Навыком вычисления широты владели, как мы помним, еще норманны, умевшие определять высоту небесных светил над горизонтом с помощью самых элементарных приспособлений вроде шеста с зарубками. Тем не менее даже в середине XVIII века капитаны европейских парусников редко вели астрономические наблюдения, больше полагаясь на так называемое корабельное счисление пути. Выбрасывая в море каждый час лаг, измеряли длину линя, который развертывался в течение минуты, и определяли таким образом скорость хода корабля и расстояние между двумя пунктами. Правда, следует иметь в виду, что лаг не остается в воде совершенно неподвижным, да и скорость судна на протяжении часа может измениться, поэтому в расчет скорости корабля могут вкрасться очень большие ошибки.
К числу первых угломерных инструментов относится астролябия, которой пользовались еще в античном мире. Во всяком случае, описание этого прибора можно найти у древнегреческих астрономов – Гиппарха и Птолемея. В X веке ее усовершенствовал (а фактически изобрел заново) механик и математик Герберт, долгое время изучавший арабскую науку в Испании, а впоследствии ставший папой Римским под именем Сильвестра II (999–1003). Европейцы начали применять астролябию в навигационных целях не позднее XIII века, а в эпоху Великих географических открытий она уже использовалась весьма широко (например, штурманы Магеллана имели при себе семь таких приборов). Морская астролябия представляла собой градуированное кольцо с угломерной линейкой (алидадой), вращавшейся вокруг центральной оси. С помощью алидады инструмент наводили на небесное светило, а со шкалы считывали его угловую высоту над горизонтом. Правда, на кораблях, которые в открытом море всегда подвержены сильной бортовой и килевой качке, астролябию не жаловали, поскольку она была капризным и неудобным в обращении инструментом. Например, Васко да Гама прибегал к услугам этого прибора только на суше.
В XV–XVI веках появился квадрант (в переводе «четверть круга»), который был надежнее астролябии, но и он при волнении на море сплошь и рядом давал неверные показания. Поэтому вскоре он уступил место так называемому посоху Иакова – градштоку, который вплоть до середины XVIII века был основным угломерным инструментом моряков. Пауль Вернер Ланге пишет: «Этот инструмент представлял собой четырехгранный стержень (палку), по которому передвигалась поперечная рейка. Наблюдатель подносил конец градштока к глазу и перемещал рейку до тех пор, пока она не закрывала поля зрения между горизонтом и небесным светилом. После этого с градштока можно было считывать угловую высоту светила. Когда прибор наводили на Солнце, перед глазом помещали затемненное стекло». Впрочем, и градшток, и сменивший его в конце XVI столетия английский квадрант – изобретение мореплавателя Джона Девиса – были весьма далеки от совершенства. И только когда в 1731 году Джон Хэдли сконструировал октан – прибор, имевший градуированную дугу в