, системой Мэри. (Это их
собственные системы отсчета.) Рассмотрим два события: 1-й и 2-й дни рождения Мэри. Обозначим их время и место в системе Джона как
x>1,
t>1 и
x>2,
t>2. Место и время этих же событий в системе Мэри обозначим как
X>1,
T>1 и
X>2,
T>2.
А теперь подставим эти величины в уравнения Лоренца. Воспользуемся второй системой:
t>2 = γ(T>2 + X>2v/c²);
t>1 = γ(T>1 + X>1v/c²).
Вычтя второе уравнение из первого, получим:
t>2 − t>1 = γ[T>2 − T>1 + (X>2 − X>1)v/c²].
Возраст Мэри, измеренный в системе отсчета Мэри, составит T>2 − T>1. В этой системе отсчета Мэри не движется, поэтому X>2 = X>1, то есть X>2 − X>1 = 0. Поэтому уравнение упрощается до вида:
t>2 − t>1 = γ(T>2 − T>1).
Можно записать это уравнение в еще более простом виде, если использовать обозначение Δt = t>2 − t>1 и ΔT = T>2 − T>1. (Δ – заглавная греческая буква дельта, которая часто используется для обозначения разностей. Вслух Δt читается как «дельта тэ».) С использованием этого обозначения уравнение принимает вид:
Это и есть растяжение времени. Промежуток времени между двумя событиями в системе отсчета Джона больше, чем промежуток времени между теми же событиями в системе отсчета Мэри, в γ раз. В примере с парадоксом близнецов, описанном в главе 4, коэффициент γ равнялся 2, так что Мэри, чтобы постареть на 8 лет, потребуется (в системе отсчета Джона) 16 лет.
А теперь посмотрим на линейное сжатие, или изменение длины. При измерении расстояния между объектами в любой системе отсчета мы отмечаем положение (координаты) объектов в один и тот же момент времени и вычитаем одно из другого. Расстояние между двумя одновременными событиями (t>2 = t>1) в собственной системе отсчета Джона составляет x>2 − x>1. Применим первую систему уравнений Лоренца к этим двум событиям:
X>2 = γ(x>2 − vt>2);
X>1 = γ(x>1 − vt>1).
Вычтя второе уравнение из первого, получим:
X>2 − X>1 = γ[x>2 − x>1 − v(t>2 − t>1)].
Поскольку для этого примера два события одновременны в системе отсчета Джона, t>2 = t>1, множитель (t>2 − t>1) = 0. При подстановке этого значения уравнение упрощается до вида:
X>2 − X>1 = γ(x>2 − x>1).
Расстояние между двумя событиями в собственной системе отсчета Джона составляет x>2 − x>1; обозначим эту величину Δx. Длина того же объекта в собственной системе отсчета Мэри (в которой объект покоится) составляет X>2 − X>1; обозначим это ΔX. Получаем уравнение:
Это и есть уравнение линейного сжатия. Если длина объекта в собственной системе отсчета составляет ΔX, то при измерении в другой системе отсчета эта длина изменится в 1/γ раз. (Обратите внимание: γ всегда больше 1, поэтому длина, то есть линейный размер объекта уменьшится.)