Сейчас. Физика времени (Мюллер) - страница 205
Одновременность
Временная разница между двумя событиями равна t>2 − t>1 = Δt. В другой системе отсчета эти события происходят в моменты времени T>2 и T>1, а временной интервал в этой системе отсчета составит T>2 − T>1 = ΔT. Мы также обозначим разницу координат двух событий (то есть расстояние между ними) в системе Джона Δx, а расстояние между ними в системе Мэри ΔX. Воспользовавшись первым преобразованием Лоренца для времени, получим:
T>2 = γ(t>2 − x>2v/c²);
T>1 = γ(t>1 − x>1v/c²).
Вычитаем одно уравнение из другого и подставляем Δt, ΔT и Δx:
ΔT = γ(Δt − Δxv/c²).
В особом случае, когда в системе Джона оба события происходят одновременно (то есть когда Δt = 0), уравнение упрощается до вида:
ΔT = −γΔxv/c².
Замечательность результата в том, что ΔT – необязательно нуль. Это значит, что в собственной СО Мэри эти события необязательно одновременны, хотя в собственной СО Джона они происходят в один и тот же момент времени. Если я обозначу расстояние между двумя событиями Δx = −D (знак здесь может быть как плюс, так и минус, в зависимости от расположения x>1 и x>2), уравнение примет вид:
ΔT = γDv/c².
Если ни v, ни D не равны нулю, ΔT тоже не равно нулю, и это означает, что два события не одновременны в системе Мэри. Это «временной скачок», который возникает у отдаленного события при переключении с одной системы отсчета на другую. Скачка не возникает, если D = 0, то есть если два события происходят в одной точке (скажем, если Джон и Мэри вновь соединятся). ΔT может быть положительным или отрицательным, в зависимости от знаков D и v.
Скорости объектов и скорость света
Здесь я покажу, почему скорость света одинакова во всех системах отсчета.
Если некоторый объект движется, мы можем обозначить как x>1 его координату в момент времени t>1 и как x>2 – его координату в момент t>2. Представьте, что на самом деле это два события. Скорость нашего объекта такова: v = (x>2 − x>1)/(t>2 − t>1) = Δx/Δt. В другой системе отсчета: V = (X>2 − X>1)/(T>2 − T>1) = ΔX/ΔT. Мы можем воспользоваться преобразованием Лоренца, чтобы сравнить эти две величины. Обозначим буквой u относительную скорость двух СО, чтобы можно было использовать v и V для обозначения скорости объекта в каждой из двух систем. Запишем преобразование для двух событий и вычтем одно из другого:
ΔX = X>2 − X>1 = γ[(x>2 − x>1) − u(t>2 − t>1)] = γ[Δx − uΔt];
ΔT = T>2 − T>1 = γ[(t>2 − t>1) − u(x>2 − x>1)/c²] = γ[Δt − uΔx/c²].
А теперь разделим одно уравнение на другое, чтобы исключить γ:
Это уравнение для преобразования скорости, позволяющее выразить скорость V во второй системе отсчета через