Математика парадокса шеста и сарая
Обратимся вновь к главе 4. В системе отсчета, связанной с сараем, шест входит концом в дверь и продолжает двигаться, пока не упрется в заднюю стену. Определим t>1 = 0 как момент, когда передний конец шеста доходит до задней стены, и выберем систему координат так, что в этой точке x>1 = 0. Из-за лоренцева сжатия в системе отсчета, связанной с сараем, задний конец шеста поравняется с дверью в этот же момент, при t>2 = 0, в точке x>2 = −6 м.
Теперь рассчитаем, что происходит в системе отсчета, связанной с шестом. Передний конец шеста упрется в заднюю стену сарая в момент T>1 с учетом уравнения преобразования Лоренца:
T>1 = γ(t>1 − x>1v/c²) = 2(0 − 0v/c²) = 0.
Задний конец шеста поравняется с дверью в момент:
T>2 = γ(t>2 − x>2v/c²) = 2(0 + 6v/c²).
Вычислив v/c из γ = 2, получаем β = v/c = 0,866. Таким образом:
T>2 = 2(0 + 5,196/c) = 10,392/c.
Воспользовавшись значением скорости света c = 3·10>8 метров в секунду (м/с), получим, что шест целиком войдет в сарай за T2 = 34,64/10>9 с = 34,64 × 10>−9 с. Так что в момент, когда передний конец шеста упрется в стену, задний его конец еще не дойдет до двери. Она поравняется с ней через 34,64 наносекунды (миллиардной доли секунды).
Вычислим в системе отсчета, связанной с шестом, где будет находиться его задний конец, когда передний упрется в стену. Воспользуемся уравнением:
Решив его относительно X>2 и подставив v = 0,866c, x>2 = −6 метров и T>2 = 10,392/c, получаем:
X>2 = x>2/γ − vT>2 = −6/2 − 9 = −12 (метров).
Этот ответ вполне соответствует нашим ожиданиям. В системе шеста, когда передняя его часть упирается в стену, задняя находится от нее на расстоянии −12 метров. Эта точка отстоит на 12 метров от задней стены сарая, что соответствует данным, что шест в этой системе отсчета имеет длину 12 метров.
Разрешение парадокса кроется в том, что два конца шеста одновременно находятся внутри сарая в системе отсчета, связанной с сараем, но в системе, связанной с шестом, они, хотя и попадают оба внутрь сарая, но делают это не одновременно: задний конец шеста проходит в дверь чуть позже, чем передний упирается в стену. Когда шест оказывается внутри, если его движение внезапно прекращается (оба конца шеста в системе сарая останавливаются одновременно), он потеряет свое линейное сжатие и внезапно удлинится до полной 12-метровой длины, проломив при этом какую-то из стен сарая или обе.