Обратите внимание также, что если Δx/Δt = V>E меньше, чем скорость света c, – то есть если пуля движется с досветовой скоростью, – такая смена порядка событий невозможна. Чтобы события поменялись местами, V>E/c должно быть больше, чем c/v, а c/v всегда больше 1. Так что для любых двух событий, которые можно связать с помощью сигнала, движущегося со скоростью меньше скорости света, порядок, в котором они происходят, будет одинаковым для всех допустимых систем отсчета – то есть для всех систем, для которых v меньше c. Мы называем такие события времениподобными. Пространственноподобными называют события, разделенные таким большим расстоянием, что для их соединения скорости света недостаточно.
Математика гравитационного эффекта времени
Эйнштейн постулировал, что течение времени в гравитационном поле можно рассчитать исходя из предположения, что оно эквивалентно течению времени в ускоряющейся системе отсчета. Этим мы сейчас и займемся.
Предположим, у нас имеется ракета высотой h, которая находится в такой области пространства, где отсутствует гравитация. Ракета движется носом вперед с ускорением, соответствующим ускорению свободного падения в поле тяготения Земли, g = 32 фута в секунду в квадрате (9,8 м/с2). Будем считать, что верх и низ ракеты ускоряются одновременно в системе отсчета, связанной с первоначальной позицией ракеты. Через время Δt система отсчета, связанная с ракетой, движется со скоростью v = gΔt относительно первой СО (при условии, что начальная скорость ракеты равна нулю).
Воспользуемся уравнением из примера про тахионное убийство, чтобы вычислить соответствующий интервал времени в верхе ракеты:
Подставив Δx = h и v = gΔt и считая приближенно (для нерелятивистских скоростей), что γ = 1 (β ≈ 0), получим:
Разделим на Δt:
Отсюда видно, что на высоте h интервал времени для верха, ΔT, меньше, чем интервал времени в нижней части, Δt. Часы в верхней части ракеты идут быстрее. В более общем случае это уравнение часто записывается как:
где ø – разность гравитационных потенциалов. К примеру, потенциал на поверхности Земли, в сравнении с бесконечностью, будет: ø = GM/R, где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная, а R – радиус Земли.
Во многих учебниках эта формула выводится совершенно иначе, из красного смещения света, направленного с верхушки некоего ящика к его основанию. Я предпочитаю тот подход, который только что изложил, потому что в нем явно используется принцип эквивалентности, положенный в основу общей теории относительности Эйнштейна; в этом подходе видно, что эффект возникает благодаря слагаемому