, с которой перемещается вдоль веревки излом, можно определить скорость распространения вдоль веревки волны любой формы. Спустя
t сек, излом проходит вдоль веревки путь
v∙
t, a
S поднимает свой конец веревки на
u∙
t.
Представим себе, что рядом с перемещающимся по веревке изломом бежит со скоростью v наблюдатель, держа коробку, которая закрывает излом, не касаясь, однако, веревки. Наблюдатель увидит, что за короткий интервал времени Δt в коробку войдет участок веревки длиной v∙Δt в горизонтальном направлении и выйдет под некоторым углом к горизонту, обладая вертикальной компонентой скорости u. Масса этого участка веревки равна d∙v∙Δt, где d — «линейная плотность» веревки, т. е. масса на единицу длины (в кг/м). Участок веревки, о котором идет речь, приобретает за время Δt количество движения в вертикальном направлении, равное (d∙v∙Δt)∙(u). Следовательно, на наш участок веревки должна действовать вертикальная сила, которая дается выражением
F = ПРИОБРЕТЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ / ВРЕМЯ,
= (d∙v∙Δt)∙(u)/(Δt) = d∙v∙u.
Коробка не касается веревки, поэтому сила эта должна бить обусловлена натяжением T' веревки, расположенной под углом к горизонту: сила F должна представлять собой вертикальную компоненту T'. (Обратите внимание, что со стороны источника к веревке, расположенной под углом, должна быть приложена несколько большая сила T', чем первоначальное натяжение, и натяжение Т в невозмущенной горизонтальной части веревки должна уравновешивать горизонтальная компонента силы Т'.)
Разложим Т' на вертикальную компоненту (Т')>у и горизонтальную компоненту (Т')>х. Значит, (Т')>у — это та сила F, действием которой обусловлено появление количества движения в вертикальном направлении, а (Т')>х= Т.
Иначе говоря,
F/T = (Т')>у/(Т')>х
А из подобия треугольников
F/T = S>0S/S>0K = u∙t/v∙t = u/v
Таким образом,
F = T∙(u/v)
Но мы имели
F = d∙v∙u
следовательно,
d∙v∙u = T∙u/v и v>2 = T/d
Отсюда
v = √(T/d)
СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ = √(НАТЯЖЕНИЕ ВЕРЕВКИ / МАССА НА ЕДИНИЦУ ДЛИНЫ)
В качестве простого упражнения определите с помощью полученного выражения частоту колебаний вертикального отрезка струнной проволоки длиной 2 м, к нижнему концу которого подвешен груз массой 10 кг. На отрезке колеблющейся проволоки — пять пучностей. Считайте, что 900 м проволоки имеют массу 2 кг, и возьмите любые данные, какие вам потребуются, из предыдущего параграфа.
Ответ. 262,5 колебания в секунду, что соответствует музыкальному звуку, близкому к звуку «до» первой октавы.
Резонанс
Всякая система, совершающая колебания, обладает присущими ей единственными способами колебательного движения, которые называют