Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила (Роджерс) - страница 264

равна ^>1/_>2 длины волны: L =^>1/_>2 λ_>1. Если колеблющаяся струна имеет две пучности, то длина бегущей волны λ_>2 короче и на L укладываются две полуволны: L =2(^>1/_>2 λ_>2). При трех пучностях L =3(^>1/_>2 λ_>3). и т. д. Таким образом, длины волн образуют последовательность:

λ_>1 = 2L, λ_>2 = 2L/2, λ_>3 = 2L/3 и т. д.

Но для любой бегущей волны скорость v = f∙λ. Поэтому частоты колебаний струны равны

f_>1 = v/λ_>1 = v/2L

f_>2 = v/λ_>2 = 2(v/2L)

f_>3 = v/λ_>2 = 3(v/2L) и т. д.

Итак, рассматривая простую картину волн и основываясь на предположении, что волны складываются геометрически, можно установить, что собственные частоты струны, закрепленной на концах, относятся как 1:2:3…. (Точно так же обстоит дело с колебаниями воздуха в трубе, флейте или органной трубе. Правда, многие музыкальные инструменты, например колокольчики, обладают колебаниями, частоты которых не образуют простой ряд целых чисел. Вот почему при ударе по колокольчикам они издают менее гармоничный звук.) Если бы мы знали скорость распространения волн по веревке, то смогли бы вычислить фактические частоты. (В следующем разделе дан вывод выражения для скорости v распространения волн по струне или веревке.) Напротив, измерив λ для стоячих волн известной частоты, можно определить v, не производя измерений бегущих волн. Этим пользуются для измерения скорости распространения звуковых или коротких радиоволн.

При проектировании приемных антенн инженеры стараются подогнать длину антенны так, чтобы приходящие радиоволны возбуждали в системе антенны стоячие волны напряжения и тока.

Простой вывод формулы для скорости распространения волн по веревке

Мы предлагаем вашему вниманию вывод формулы для скорости распространения волн[167]. Возможно, он вас заинтересует, если же нет, то опустите его. В гл. 37[168] будет дан похожий вывод для скорости распространения электромагнитных волн — световых и радиоволн.

Представим себе веревку, протянутую горизонтально от «источника» волн S до дерева, отстоящего на очень большом расстоянии (фиг. 292).

Фиг. 292.Вывод выражения для скорости распространения волны вдоль натянутой веревки.

Веревка туго натянута, натяжение в ней равно Т ньютон. Предположим, что S внезапно начинает поднимать конец веревки с вертикальной скоростью u и что этот подъем продолжается неопределенно долго. В результате образуется излом, который перемещается по веревке. Излом представляет собой волновое возмущение, распространяющееся вдоль веревки со скоростью v. Волну любой формы можно представить себе состоящей из множества изломов, причем один излом является как бы продолжением другого. Поэтому, вычислив скорость