Глава 11
Приближенные вычисления, ошибки, пропорции
«Круглые числа всегда неверны».
Др. Джонсон.
Стандартная запись чисел
Размеры атомов и электронов крайне малы, а число их невообразимо велико. Если выражать массы атомов и электронов в обычных единицах, то получаются чрезвычайно маленькие числа, а если выражать величину электрического тока количеством протекающих электронов, то мы получим огромное число. В атомной физике и астрономии производят арифметические действия над огромными числами и очень малыми числами, которые всегда выражают в виде десятичных дробей. И с теми, и с другими числами оперировать весьма неудобно, если они записаны полностью, как в элементарной арифметике. Поэтому обычно используют стандартную форму записи таких чисел. Любое число представляется в виде числа с одной значащей цифрой перед запятой, умноженного на число 10 в соответствующей степени, например 2,3 х 10>6. Числа, записанные в стандартной форме, легко умножать (или делить), так как степени числа 10 просто складываются (или вычитаются).
При такой записи легко пользоваться счетной линейкой и при расчетах с помощью логарифмических таблиц. (Степень 10 дает непосредственно целую часть логарифма, а таблицы — дробную часть логарифма по первой части в стандартной записи.) Числом цифр после запятой можно охарактеризовать точность исходных данных или точность результата расчетов.
Например, толщина волоса близка к 0,00015 м.
Умножение этого числа на 10 дает 0,0015,
еще на 10 дает 0,015,
еще на 10 дает 0,15,
еще на 10 дает 1,5.
Отсюда стандартная запись числа:
0,00015 x 10 x 10 x 10 x 10 равно 1,5, или 0,00015 х 10>4 = 1,5.
Следовательно,
0,00015 равно 1,5/10>4 или 1,5 х 10>-4.
Это и есть стандартная запись числа 0,00015.
Если попытаться рассортировать волосы по толщине и измерить толщину волоса с большой точностью, то можно было бы найти волос диаметром, скажем, 0,0001502 м. Мы должны записать это число в виде 1,502 х 10>-4 м. Сомневаясь в такой точности, можно отбросить две последние цифры и записать результат измерений в виде 1,50 x 10>-4 м. Заметьте: 1,50 x 10>-4 — это не то же самое, что 1,5 x 10>-4. Число 1,50 означает, что мы вполне уверены в цифре 1, вполне уверены в цифре 5 и считаем, что следующая цифра 0; она ближе к 0, чем к 1, или к цифре 9 числа 1,49. В то же время 1,5 означает число, лежащее где-то между 1,45 и 1,55.
Масса атома водорода равна