… 200… 400…
… 300… 600…
… 500… 1000…
Масса картофеля возрастает пропорционально размерам хозяйства. Это простейший тип соотношения между двумя величинами, с которым мы так часто встречаемся в физике[172].
Можно сформулировать это соотношение несколькими способами:
1) МАССА КАРТОФЕЛЯ пропорциональна ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ;
2) МАССА КАРТОФЕЛЯ изменяется прямо пропорционально ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ;
3) МАССА КАРТОФЕЛЯ ~ ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ (это сокращенная запись формулировок 1 и 2);
4) МАССА КАРТОФЕЛЯ = (ПОСТОЯННАЯ)∙(ЧИСЛО ЛЮДЕЙ).
Варианты 1 и 2 (и их математическая запись — вариант 3) — это просто попытки дать формулировку простым в очевидным вещам. «Две величины возрастают в одинаковой пропорции. Если удвоить одну из них, то удваивается вторая, если утроить одну, — утраивается вторая, и т. д.».
Имея это в виду, можно легко решать задачи, не вычисляя «постоянную», содержащуюся в записи варианта 4. Например, известно, что для 100 человек требуется 200 кг картофеля. Сколько потребуется его для 600 человек? Для вшестеро большего числа людей требуется в 6 раз больше продовольствия: 1200 кг.
Пример Г. Объем шара изменяется пропорционально третьей степени радиуса. Шар увеличен так, что радиус его стал в 5 раз больше первоначального. Что произойдет с его объемом? Если радиус увеличивается в 5 раз по сравнению с первоначальным, то величина (радиус)>3 возрастает в 5>3 раз по сравнению с первоначальным значением (поскольку R>3 = R∙R∙R и 5R∙5R∙5R = 5>3∙R>3). Следовательно, объем возрастает По сравнению с первоначальным в 125 раз. Это должно быть следствием здравого смысла, дли которого вовсе не нужно обращаться к соотношению 4/3πR>3.
«Коэффициент пропорциональности»
Формулировка 4
МАССА КАРТОФЕЛЯ = (Постоянная)∙ЧИСЛО ЛЮДЕЙ
очень похожа на запись варианта 3, но для специалиста формулировка 4 не столь четко выражает идею зависимости между величинами. Поэтому советуем избегать ею пользоваться, если только можно получить нужный результат, прибегнув к здравому смыслу, как в приведенных выше двух примерах.
Для каждой пары значений в примере с картофелем, очевидно, справедливо соотношение
МАССА КАРТОФЕЛЯ Р = 2N∙ЧИСЛО ЛЮДЕЙ,
поэтому все четыре случая можно описать с помощью формулы P = 2N. Сущность этой записи в том, что она выражает зависимость между величинами: дело не в конкретном значении 2, а в том, что это число остается одним и тем же, т. е. постоянным. (Фактически это потребление картофеля, приходящееся на одного человека, т. е. 2 кг на человека.) Поскольку число 2 постоянно, мы можем записать
Р = (Постоянная)∙N.
Эта общая формулировка применима и к случаю, когда в лагерь собираются люди, потребляющие много картофеля, и на одного человека уходит уже 5 кг картофеля. Тогда наша форма примет вид