.
Употребление слов «на» и «в»
Слова «на» и «в» нашли широкое употребление в науке. Мы употребляли их выше в значении «деленное, на» или «на каждый (каждую)…», т. е. в значениях, которые они имеют в обычной арифметике. Позднее мы будем говорить об ином значении этих слов, когда они используются для словесного выражения отношения или пропорции.
В арифметике мы делим 10 центов на 5 и получаем 2 цента. Или мы делим 10 овец по 5 овец и получаем 2 отары. Мы сомневаемся в возможности делить 10 овец на 5 центов — ведь речь идет, возражаем мы, о предметах разного рода. Но иногда мы делим предметы одного рода на предметы другого рода, например, если 10 центов разделить на 5 мальчиков, то у каждого мальчика окажется в кармане 2 цента. А разделив 60 центов на дюжину апельсинов, получим стоимость каждого апельсина. В науке часто производят подобные деления, и чтобы ответ был верным, он должен содержать как число, так и единицы измерения. Если жук, двигаясь с постоянной скоростью, проползает 3 да за 2 часа, то мы можем сказать: «Если разделить 3 м на 2 часа, т. е. записать 3 м/2 часа, то получим 1,5 м в час». Ответ показывает расстояние, которое жук проползает за каждый час, но это не означает, что жук передвигается обязательно в течение одного часа. Это применимо и к >1/>4 часа, и к >1/>2 часа, и к 1>1/2 часам, а возможно, и к 2>1/>2 часам.
Эта формулировка применима даже к очень коротким интервалам времени: жук может ползти с той же самой скоростью 1,5 м в час в течение нескольких секунд. Мы можем мысленно сократить интервал времени, по-прежнему считая, что жук ползет со скоростью 1,5 м в час. В пределе мы говорим, что жук обладает скоростью 1,5 м в час в некоторый определенный момент времени. Это уже новое представление, представление о скорости в некоторый момент времени. Мы не можем теперь делить расстояние на промежуток времени — деление нуля на нуль не имеет смысла; тем не менее спидометр будет показывать в какой-то момент времени скорость 1,5 м в час. Правда, настоящий жук передвигается то быстрее, то медленнее, но мы легко можем представить себе идеального жука, передвигающегося с постоянной скоростью. В таком случае единица «один метр в час» — это уже не результат деления, а самостоятельная величина, единица скорости изменения пути, и скорость 1,5 м в час — это скорость изменения пути, предельное значение, отмеченное в некоторый момент времени.
Математическое понятие предела появляется и в физике, и в математическом анализе. Чтобы постичь сущность понятия предел, посмотрим, чему равна сумма большого числа членов ряда: 1,