/
>2,
> 1/
>4,
>1/
>8,
>1/
>16…. Сумма первых двух членов равна 1
>1/2, сумма трех членов 1
>3/
>4, десяти членов 1
>311/
>>512 и т. д. Сколько бы членов ряда мы не брали, сумма никогда не будет в точности равна 2, но можно как угодно близко подойти к 2, если взять достаточно большое число членов ряда. (Заметим, что сумма всегда меньше 2 на величину, равную как раз последнему взятому члену. Поэтому эту разность можно сделать как угодно малой.) Таким образом, мы говорим, что 2 есть
предел суммы большого числа членов ряда.
Наклон касательной, о котором шла речь выше, тоже представляет собой предел, а именно предел наклона хорды, проходящей через две точки на графике.
До нынешнего века физики имели дело с большим числом непрерывно изменяющихся отношений, таких, как скорость, плотность, освещенность. Теперь же оказалось, что множество физических величин характеризуется скачкообразным изменением, подобным резким изменениям скорости настоящего жука; эти величины не удается непрерывно уменьшать до предельных значений. Для примера рассмотрим отношение (масса)/(объем), которое мы называем плотностью. Мы можем поделить массу большого куска алюминия на его объем или массу маленького куска алюминия на его объем и получим одинаковую плотность.
Но если мы попытаемся продолжать определять таким образом плотность, переходя ко все меньшим и меньшим количествам вещества, то, дойдя до одного-единственного атома, вынуждены будем остановиться. Какие отношения физических величин можно вычислить в пределе в математическом смысле этого слова? Какие величины не обладают «атомистической» природой? Этот вопрос заслуживает внимания, и мы вернемся к нему в самом конце нашего курса. Употребляя слова «на» или «в» или знак косой черты, который их заменяет, для обозначения понятия «деленный (деленная) на» или «на каждый (каждую)», стоит подумать, что эти слова играют определенную роль в представлении об отношении.
Единицы измерения, применяемые в науке
В обыденной жизни мы измеряем скорость в метрах в секунду или в километрах в час; инженеры тоже часто пользуются этими единицами. Ускорение мы выражаем в м/сек на секунду, а иногда в таких менее привычных единицах, как км/час на секунду. Однако ученые во всем мире условились применять метрическую систему единиц, и мы будем пользоваться одним из вариантов этой системы, системой метр — килограмм — секунда. В этой системе (ее называют сокращенно «системой МКС») длины и расстояния измеряются в метрах, масса вещества — в килограммах, а время — в секундах. Точная длина метра определяется длиной тщательно сохраняемого бруска из тугоплавкого металла, копии которого находятся в метрологических лабораториях всего мира.