Время между прохождением гребней волны излученных фотонов (воспринимаемых как волны света), измеренное частицей, равно Δt>0. Время между испусканием двух гребней волны, Δt>0, равно единице, деленной на частоту света 0 с точки зрения частицы. Допустим, частота света – 100 циклов в секунду; например, время между прохождениями соседних гребней волны составляет 1/100 секунды. Тогда Δt>0 = 1/v>0. Пусть v – скорость частицы относительно лаборатории. Часы на частице будут тикать (в системе координат покоя в лаборатории) с частотой √1 – (v>2/c>2) по сравнению с часами в лаборатории, об этом мы уже говорили. Но при этих расчетах предполагается, что v << c, поэтому мы игнорируем все члены порядка (v>2/c>2), уделяя внимание лишь членам порядка (v/c). (Например, если v/c = 10>–4, что соответствует 30 км/c, скорости вращения Земли вокруг Солнца, то v>2/c>2 = 10>–8; этот второй член настолько мал, что им можно пренебречь по сравнению с первым.) Поскольку мы работаем в пределе v << c, частота тиканья часов на частице, в принципе, не отличается от частоты тиканья лабораторных часов. Таким образом, интервал времени между ударами часов на частице (Δt>0) и в лаборатории (Δt´), в принципе, одинаковы, поскольку частица движется так медленно.
Наблюдатель, находящийся в состоянии покоя относительно лаборатории, видит, что между прохождениями первого и второго гребней волны, испущенной частицей, проходит время Δt>0 = Δt´ = 1/ 0. (См. рис. 18.4, где интервал времени показан в виде вертикальной прерывистой линии.) В момент, когда частица испустит вправо следующий гребень волны, он отстанет от первого гребня на расстояние d = (с – v)Δt´.Оно равно расстоянию, преодолеваемому лучом света за время Δt´ (то есть сΔt´) минус расстояние, пройденное частицей (равное vΔt´). Оба гребня летят вправо со скоростью света с (согласно второму постулату Эйнштейна); следовательно, они летят параллельно, и расстояние между ними остается постоянным d = (с – v) Δt´.Длина световой волны λ>П, регистрируемая наблюдателем, сидящим на правой стене лаборатории, равна этому расстоянию между гребнями волны, то есть λ>П = (с – v) Δt´.Пространственно-временная схема на рис. 18.4 иллюстрирует этот мысленный эксперимент. Расстояние λ>П между гребнями волны измеряется в некоторый момент лабораторного времени (по горизонтали на данной пространственно-временной схеме).
Следовательно, временной интервал между прибытием двух гребней волны к правой стене равен Δt>П = λ>П/c = (с – v) Δt´/c, а наблюдаемая частота фотона, летящего вправо, составит ν