= 1/Δ
t>П =
c/[(
с – v) Δ
t´] = ν
>0c/(
с – v). Теперь при
v <<
c величина
c/(
с – v) примерно равна 1 + (
v/
c), здесь в
v/
c остаются лишь члены первого порядка.(Например, если
v/
c = 0,00001,
c/(
с – v) = 1/0,99999 = 1,00001 с высокой точностью – можете проверить на калькуляторе.) Следовательно, наблюдатель, сидящий у правой стены лаборатории, видит, что летящий к нему фотон врезается в стену, имея частоту ν
>П = ν0[1 + (
v/
c)].Он наблюдает более высокую частоту, чем была у фотона в момент излучения, и эта частота больше исходной в [1 + (
v/
c)] раз в силу доплеровского эффекта, где
v – скорость частицы. Это стандартная формула доплеровского эффекта для света, смещенного в синюю часть спектра; этот свет попадает в правую стену лаборатории и был излучен частицей, которая на низкой скорости
v летит к стене.
Попадая в правую стену, летевший вправо фотон сообщает ей направленный вправо импульс hν>П/c = hν>0[1 + (v/c)]/c.
Также частица излучает фотон, летящий влево. В итоге он врежется в левую стену. Наблюдатель, сидящий у левой стены лаборатории, видит, что этот фотон, летящий к нему, имеет частоту ν>Л = ν>0[1 – (v/c)].Знак скорости в формуле меняется на обратный, поскольку наблюдатель у левой стены видит, как частица удаляется от него со скоростью v.Частота волны с его точки зрения ниже, чем в момент излучения, это объясняется доплеровским эффектом. Следовательно, суммарный направленный вправо импульс, который лаборатория получит от двух фотонов, равен импульсу, который был передан летящим вправо фотоном hν>0[1 + (v/c)]/с минус импульс, сообщенный фотоном, летящим влево, hν>0[1 – (v/c)]/с. Имеем формулу 2hν>0(v/c2) для общего импульса вправо, который два фотона сообщают лаборатории. Лаборатория приобретает такой общий импульс, поскольку более высокочастотный (голубой) фотон, летящий вправо, ударяет стену сильнее, и этот удар не компенсируется более слабым толчком, который сообщает летящий влево более низкочастотный (красный) фотон. Итак, 2hν>0 = ΔE – это всего лишь энергия, испускаемая частицей в виде двух фотонов. Направленный вправо импульс, полученный лабораторией, равен ΔE v/c>2.Множитель v/c>2 получается из множителя v/c, обусловленного доплеровским смещением, и множителя 1/c в силу соотношения импульса и энергии, которую несут фотоны.
По закону сохранения импульса величина импульса, приобретенного лабораторией, должна быть равна величине импульса, потерянного частицей. Импульс частицы равен mv (поскольку v << c, формула Ньютона для импульса в данном случае точна). Скорость частицы не изменяется, и поэтому потерять часть импульса