В самом деле, тиски возможности властны над учеными в не меньшей степени, чем над шекспировскими Троилом и Крессидой. Для построения кривой Коха необходимо, чтобы каскад новых, с каждым разом уменьшающихся выступов уходил в бесконечность, однако в Природе всякий каскад обречен либо прекратиться, либо измениться. Мы, конечно, можем допустить существование бесконечной серии выступов, но охарактеризовать их как самоподобные можно только в определенных пределах. Когда длина уменьшается до значений, меньших нижнего предела, понятие береговой линии перестает принадлежать географии.
Таким образом, представляется разумным рассматривать реальную береговую линию как кривую, включающую в себя два пороговых масштаба. Внешним порогом Ω можно считать диаметр наименьшей окружности, описывающей остров или материк, а в качестве внутреннего порога ε мы можем взять те самые 20 м, о которых говорилось в главе 5. Весьма сложно указать реальные числовые значения для порогов, однако необходимость введения этих самых порогов не подлежит сомнению.
И все же даже после того, как мы отбросили самые крупные и самые мелкие детали, величина D продолжает означать эффективную размерность в том виде, в каком она описана в главе 3. Строго говоря, и треугольник, и звезда Давида, и конечные терагоны Коха имеют размерность 1. Однако — как с интуитивной, так и с прагматической точки зрения, руководствующейся простотой и естественностью необходимых поправочных членов — разумнее рассматривать терагон Коха на одной из поздних стадий построения как фигуру, более близкую к кривой с размерностью ln4/ln3, нежели к кривой с размерностью 1.
Что же касается береговой линии, то она, вероятнее всего, имеет несколько различных размерностей (вспомните клубок ниток из третьей главы). Ее географической размерностью является показатель Ричардсона D. Но в диапазоне размеров, которыми занимается физика, размерность береговой линии может быть совсем иной — связанной с понятием границы раздела между водой, воздухом и песком.
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ КОХА И КРИВЫЕ КОХА БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ
Сформулируем еще раз основной принцип построения троичной кривой Коха. Построение начинается с двух фигур: инициатора и генератора. Последний представляет собой ориентированную ломаную, состоящую из N равных отрезков длины r. В начале каждого этапа построения мы имеем некоторую ломаную; сам этап заключается в замене каждого прямого участка копией генератора, уменьшенной и смещенной так, чтобы ее концевые точки совпали с концевыми точками заменяемого отрезка. На каждом этапе