Фрактальная геометрия природы (Мандельброт) - страница 46
Альтернативное построение острова Коха предложено в статье Чезаро, посвященной кривым фон Коха [74] — работе настолько замечательной, что всякий раз, открывая журнал, я забываю о том, как долго и упорно я искал эту статью (и как разозлился, обнаружив впоследствии, что все мои труды были напрасны — мне следовало сразу же заглянуть в сборник [75]). Позволю себе привести несколько особенно восхитительных строк в моем вольном переводе. «Бесконечное вложение этой фигуры в самоё себя дает нам некоторое представление о том, что Теннисон однажды назвал внутренней бесконечностью — единственный, в сущности, род бесконечности, доступный нашему восприятию Природы. Благодаря такому подобию между целым и частями — вплоть до самых мельчайших, исчезающе малых частей — кривая Коха обретает воистину чудесные свойства. Если бы ей была дарована жизнь, то для того, чтобы убить ее, нам пришлось бы уничтожить всю кривую без остатка, ибо она возрождалась бы вновь и вновь из глубин своих треугольников; то же, впрочем, можно сказать и о жизни во Вселенной вообще».
В роли инициатора в построении Чезаро выступает правильный шестиугольник с длиной стороны √3/3. Окружающий остров океан изображен серым цветом. Каждый прямолинейный участок берега заменяется треугольной бухтой, размер которой уменьшается с каждым этапом построения до бесконечности, а остров Коха становится пределом уменьшающихся приближений.
На приведенном рисунке показаны оба метода построения: и метод Коха (см. рис. 70) и только что описанный метод Чезаро. При таком представлении предельная береговая линия Коха оказывается зажатой между двумя неуклонно приближающимися изнутри и снаружи терагонами. Можно вообразить себе некий каскадный процесс, в начале которого мы имеем три концентрических кольца: твердая земля (черная), болото (белое) и вода (серая). С каждым этапом такого каскадного процесса некоторый участок болота преобразуется либо в твердую землю, либо в воду. В пределе болото донельзя истончается, превращаясь из «поверхности» в кривую.
Интерпретация срединного смещения. Используем приведенные ниже генератор и последующий шаг (угол равен 120 градусов):
Смещение средней точки прямолинейного отрезка наружу k-го внутреннего терагона дает k-й наружный терагон; срединное смещение внутрь k-го наружного терагона дает k+1-й наружный терагон. Эффективность такого подхода демонстрируется на рис. 98 и 99, а также в главе 25.
Рис. 73. ДВА ВИДА САМОПОДОБИЯ: СТАНДАРТНОЕ И ФРАКТАЛЬНОЕ
На рисунке показано, как, располагая некоторым целым числом (в данном случае