Фрактальная геометрия природы (Мандельброт) - страница 49

Штриховка внутри центрального острова (M=4) описана в пояснении к рис. 109 и 110.

Если параметр M уходит в бесконечность, соответствующая кривая стремится приобрести форму окружности. Если же M уменьшается, то наши фигуры начинают «съеживаться», сначала постепенно, затем — резкими скачками. Когда M достигает 3, в соответствующей кривой появляются самопересечения. Этот случай мы обсудим позже (см. рис. 109 и 110).

Критическая размерность. Когда в качестве инициатора выбирается отрезок [0, 1], угол θ может принимать любые значения от 180 градусов до 60 градусов. Существует, однако, некий критический угол θ_>kp — такой, что береговая линия не имеет самопересечений в том и только в том случае, если θ>θ_>kp. Соответствующая размерность D_>kp называется критической размерностью для самопересечений. Угол θ_>kp близок к 60 градусам.

Обобщение. Построения, изображенные на рис. 75-88, допускают следующее несложное обобщение. Назовем приведенные на рисунке генераторы прямыми (S) и определим обратный генератор (F) как зеркальное отражение прямого генератора относительно линии y=0. На каждом отдельном этапе построения будем использовать один генератор, однако для различных этапов можно выбирать различные генераторы. Кривые на указанных (и некоторых последующих) рисунках построены с помощью S-генераторов, но и другие бесконечные последовательности S- и F-генераторов дают очень похожие результаты.

< При чередовании F- и S-генераторов локсодромические точки переходят в гиперболические, как в оригинальной кривой Коха. ►

На рис. 79-85 показано несколько фигур Коха, инициатором которых является квадрат (отсюда и название квадратичные). Одним из преимуществ таких построений является то, что с ними можно экспериментировать даже на слабых графических системах. < Еще одно преимущество — квадратичные фрактальные кривые ведут непосредственно к оригинальной кривой Пеано, описанной в пояснении к рис. 95. ►

Рис. 81. Инициатором здесь служит квадрат, а генератор выглядит следующим образом:

Как и на рис. 75-79, на каждом этапе построения общая площадь острова остается неизменной. На рис. 81 вверху приведены два первых этапа построения крупным планом и два последующих в более мелком масштабе.

Результат последнего этапа, еще более увеличенный, демонстрирует мельчайшие детали в виде очень тонких, едва видимых выступов, которых вы, конечно же, не увидели бы, не обладай наша графическая система такой превосходной разрешающей способностью.