Фрактальная геометрия природы (Мандельброт) - страница 50
Как в терагонах, так и в предельной кривой отсутствует какое бы то ни было самоперекрытие, самопересечение или самокасание. Это утверждение остается в силе и для последующих построений (вплоть до рис. 85).
< Не следует забывать о том, что фракталы на рис. 81-85 представляют береговые линии; суша и море здесь — это удобные фигуры, обладающие положительными и конечными площадями. На с. 209 упоминается случай, в котором только «море», будучи объединением простых трем, имеет вполне определенную площадь, в то время как суша не имеет ни единой внутренней точки. ►
Тайлинг и пертайлинг. Этот остров можно разбить на 16 меньших островков (r=1/4). Каждый представляет собой остров Коха, построенный на одном из 16 квадратов, образующих первый этап построения.
< В главах 25 и 29 показано, что размерность D=3/2 характерна также для многих броуновских функций. Следовательно, это значение легко можно получить с помощью случайных кривых и поверхностей. ►
Рис. 81. КВАДРАТИЧНЫЙ ОСТРОВ КОХА (РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ D=3/2=1,5000)
В качестве инициатора снова возьмем квадрат, а генератором будет следующая ломаная:
То, что береговая линия квадратичных островов Коха, представленных в данной подборке иллюстраций, в очень значительной степени зависит от D, весьма показательно. В то же время, поскольку их общим инициатором является квадрат, внешняя форма этих островов остается приблизительно одинаковой. Если инициатором выступает какой-либо другой правильный M-угольник (M>4), то можно наблюдать, как по мере увеличения M внешняя форма становится все более гладкой. Об истинной зависимости между внешней формой и значением D мы узнаем не раньше, чем в главе 28, в которой рассматриваются случайные береговые линии, эффективно определяющие как генератор, так и инициатор.
< Максимальность. Свой вклад в сходство внешних форм вносит тот факт, что изображенные на рис. 79-85 квадратичные кривые Коха обладают весьма интересным свойством максимальности. Расположим все генераторы Коха, порождающие кривые без самопересечений, на квадратной решетке, образованной прямыми, параллельными и перпендикулярными отрезку [0, 1]. Допустим также, что все эти генераторы можно использовать с любыми инициаторами на нашей квадратной решетке. Определим как максимальные те генераторы, которые характеризуются наибольшим значением N и, как следствие, D. Нетрудно заметить, что N>max=b>2/2 при четных b и N>max=(b>2+1)/2 при нечетных b.
При увеличении b возрастает как максимальное значение N, так и число альтернативных максимальных многоугольников. Таким образом, на предельную кривую Коха все большее влияние оказывает исходный генератор. Кроме того, кривая выглядит все более изощренной, поскольку стремление достичь максимальной размерности, избежав при этом самопересечения, налагает определенные требования, которые лишь ужесточаются с ростом