Фрактальная геометрия природы (Мандельброт) - страница 52

, близкой к 1 (см. рис. 79). При высокой начальной энергии, да еще в маленьком сосуде, можно будет наблюдать более сложную дисперсионную картину, плоские срезы которой будут больше похожи на рис. 84 (D~1,7373); их размерность может даже достичь значения D=2 (см. главу 8). См. также работу [386].

Если последнее заключение верно, следующим шагом необходимо изучить связь между начальной энергией и D и отыскать наименьшее значение энергии, при котором плоский срез пятна имеет D=2 (или D=3 в пространственном случае). Исследовав предельный случай D=2 (см. главу 7), мы убедимся, что он качественно отличается от случая D<2, так как позволяет любым двум частицам чернил, которые в начале процесса были далеко друг от друга, прийти в асимптотическое соприкосновение. <Я бы совсем не удивился, если бы оказалось, что за одним термином «турбулентная дисперсия» скрываются два совершенно отличных друг от друга феномена. ►

Постскриптум. Уже после того, как эта иллюстрация появилась во «Фракталах» 1977 г., Пол Димотакис сфотографировал тонкие срезы турбулентной струи, рассеивающейся в ламинарной среде. Сходство снимков с иллюстрацией весьма меня порадовало. ►

Рис. 87 и 88. ОБОБЩЕННЫЕ КРИВЫЕ КОХА И САМОПОДОБИЕ С НЕРАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (D~1,4490,D~1,8797,D~1+ε)

При построении этих конструкций использован метод Коха, но с неравными длинами сторон r_>m генератора. До сих пор мы подразумевали, что ко всем N «частям», на которые делится наше «целое», применяется один и тот же коэффициент подобия r. При неравных коэффициентах r_>m кривая Коха несколько теряет в своей неумолимой правильности. На рис. 87 вы можете видеть модифицированную таким образом троичную кривую Коха.

Заметьте, что во всей предшествующей серии иллюстраций построение кривой продолжалось до тех пор, пока не достигало мельчайших деталей заранее определенного размера. Когда r_>m=r, искомая цель достигается за некоторое заранее определенное число этапов построения, здесь же необходимое число этапов оказывается переменным.

Теперь перед нами стоит задача распространить на данное обобщение рекурсии Коха концепцию размерности подобия. Предположим для начала, что некая стандартная евклидова фигура покрывается подобными ей частями, уменьшенными соответственно в r_>m раз. При D=1 значение r_>m должно удовлетворять равенству Σr_>m=1; в общем случае евклидовы фигуры требуют равенства

. Далее, для случая фрактальных кривых, которые могут быть разделены на равные части, уже знакомое нам условие Nr^>D=1 также можно переписать как . Исходя из этих соображений, мы можем построить ренерирующую размерность функцию