КРИВЫЕ ПЕАНО В РОЛИ ЧУДОВИЩ
«Все шатается и рассыпается! Очень трудно передать словами тот эффект, который произвели результаты [Джузеппе] Пеано на все математическое сообщество. Такое ощущение, что кругом одни развалины, что все математические концепции внезапно потеряли всякий смысл» [573]. «[Движение Пеано] невозможно представить себе интуитивно; его можно понять лишь с помощью логического анализа» [190]. «Некоторые математические объекты — такие, например, как кривая Пеано — совершенно противоречат здравому смыслу... просто нелепы» [109].
ИСТИННАЯ ПРИРОДА КРИВЫХ ПЕАНО
Я утверждаю, что приведенные цитаты лишь доказывают тот факт, что ни один из тех математиков так и не удосужился тщательно рассмотреть аккуратно построенную кривую Пеано. Кто-нибудь менее добродушный мог бы сказать, что эти цитаты демонстрируют полное отсутствие геометрического воображения.
Я также утверждаю, что после внимательного и непредвзятого изучения и осмысления терагонов Пеано становится весьма затруднительным и дальше не видеть связи между ними и разнообразными природными проявлениями. Эта глава посвящена кривым без самопересечений, т. е. кривым, терагоны которых избегают самокасаний. В главе 13 мы поговорим о кривых с умеренным числом самокасаний. Первыми на предмет устранения самокасаний следует рассмотреть терагоны, заполняющие решетку (например, прямые с целочисленными координатами, параллельные координатным осям).
РЕКИ И ДРЕВОВИДНАЯ СТРУКТУРА ВОДОРАЗДЕЛОВ
Изучая всевозможные терагоны Пеано, я обратил внимание на то, что каждый из них представляет собой некоторую комбинацию из двух деревьев (или двух скоплений деревьев), допуская бесконечное разнообразие конкретных интерпретаций. Особенно хорошо эти деревья видны на «прохождении снежинки» — кривой Пеано моего изобретения (см. рис. 105). Глядя на рисунок, мы легко можем представить себе, что там изображено, скажем, скопление кустарников, растущих из нижней трети снежинки Коха и взбирающихся по ее стенкам. Другому эта картинка может показаться похожей на нарисованную плохо очиненным карандашом карту бассейна какой-нибудь большой реки — многочисленные мелкие притоки сливаются в более крупные и в конце концов вливаются в главную реку, протекающую вдоль нижней трети снежинки. Из последней интерпретации немедленно следует, что кривые, отделяющие реки друг от друга, составляют в совокупности древовидный водораздел. Разумеется, реки и водоразделы могут меняться местами.
Какой бы простой и очевидной ни казалась эта новая водораздельно- речная аналогия, она оказалась возможной только после того, как мы перестали считать кривые Пеано чем-то заведомо патологическим. В самом деле, если мы хотим, чтобы древовидная структура, составленная из рек исчезающей ширины, собрала всю воду с некоторого участка, ей просто не остается ничего другого, как проникнуть во все точки этого участка. Всякий, кто отправится прогуляться по берегам всех рек данной системы, совершит заполняющее плоскость путешествие. Не верите? Спросите у любого ребенка!