Фрактальная геометрия природы (Мандельброт) - страница 59

Простейшим генератором, какой только можно в этом случае вообразить, является ломаная, состоящая из N=2 равных отрезков, угол θ между которыми удовлетворяет условию 90°≤θ≤180°. В предельном случае θ=180° генератор представляет собой отрезок прямой; случай θ=120° (проиллюстрированный в пояснении к рис. 71) порождает (помимо прочих) троичную кривую Коха. Генератор для предельного случая θ=90° показан ниже:

Используя этот генератор, можно построить невообразимое множество различных кривых Пеано (различия обусловлены формой инициатора и способом помещения генератора на предшествующий терагон). На рис. 98-102 дано несколько примечательных примеров.

< Кроме того, в главе 25 с помощью рандомизации всех кривых Пеано с данными Nr мы получим самое что ни на есть броуновское движение. ►

Прохождение треугольника по Пойа. Инициатор отрезок [0, 1], генератор — как на рисунке вверху. Генератор поочередно занимает правое и левое положение относительно терагона, причем его положение относительно начального отрезка (правое или левое) также поочередно меняется. Ниже показаны третий и четвертый этапы построения:

Терагоны напоминают квадратные куски диаграммной бумаги, запихнутые внутрь прямоугольного равнобедренного треугольника, один из катетов которого и есть исходный отрезок [0, 1]. Предельная кривая проходит по всей внутренней области треугольника.

Рис. 98. Прохождение Пойя по прямоугольному неравнобедренному треугольнику. Изменим генератор таким образом, чтобы он состоял из двух неравных отрезков, расположенных под прямым углом друг к другу. Читателю (в качестве упражнения) остается лишь придумать, как в этом случае построить кривую, избегающую самокасаний.

Прохождение треугольника по Чезаро. Инициатор — отрезок [0, 1], генератор — тот же, что и для прохождения по Пойа. Два следующих этапа построения приведены ниже (для большей ясности построения угол θ на рисунке равен 85 градусов вместо θ=90°).

То есть на всех этапах с нечетными номерами генератор располагается справа от кривой; получаемый в результате терагон представляет собой решетку из прямых, параллельных диагоналям инициатора. На всех же этапах с четными номерами генератор располагается слева от кривой; прямые, составляющие решетку получаемого при этом терагона, оказываются параллельными сторонам инициатора. Кривая асимптотически заполняет прямоугольный равнобедренный треугольник, причем исходный отрезок [0, 1] является гипотенузой этого треугольника.