(n(n+1))/2+((n+1)(n+2)/2) = (n+1)>2
Чтобы перейти от одного квадратного числа к следующему, пифагорейцы следовали схеме, представленной на рисунке 10. Они объединяли точки справа и снизу ломаной под прямым углом линией, которая называлась гномон, что значит «плотницкий угол». Гномон образовывали точки на границе квадрата, количество которых увеличивалось на два с каждым переходом к следующему квадратному числу. Если к любому квадратному числу прибавить его гномон плюс два, мы получим следующее квадратное число. Таким образом, пифагорейцы узнали, что n>2 + (2n + 1) = (n + 1)>2. Кроме того, если, начиная с 1, прибавлять гномон 3, затем гномон 5 и так далее, то получится, что 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n>2.
КЛАССЫ ЧИСЕЛ
Пифагорейский мир чисел был очень богат. Пифагор и его последователи различали разные типы чисел, которые они скрупулезно классифицировали и приписывали им нравственные и физические характеристики. К примеру, нечетные числа были мужскими, а четные — женскими. Некоторые числа были дружественными друг другу и сочетаемыми, иные же — зловредными и неспособными к отношениям с другими. Числа могли приносить человеку несчастья. Результатом этой классификации стала запутанная интеллектуальная конструкция, которую можно понять, только встав на позицию пифагорейской мистики. В Книге VII своих «Начал» Евклид попытался объяснить весь этот пифагорейский мир и представить его с максимально возможной ясностью. Категории и определения, приводимые ниже, основаны на данных этого великого геометра.
Первым большим семейством чисел были четные и нечетные, определение которых, данное пифагорейцами, бесспорно: четное число может быть поделено на две равные или неравные части (исключая диаду, которая делится единственным способом), и эти части будут, в свою очередь, представлять собой четные или нечетные числа. Нечетное число может быть разделено лишь на две неравные части — одна из них будет четным числом, вторая — нечетным. Эти типы чисел делятся, в свою очередь, на четыре класса:
— четно-четные: их половина представляет собой четное число;
— нечетно-четные: их половина нечетная;
— четно-нечетные: такие, которые, будучи разделены на нечетное число, дают четное число;
— нечетно-нечетные: имеют только нечетные делители.
Далее числа делились на несоставные и вторичные — так пифагорейцы называли простые и составные числа. В конечном счете речь идет о числах, служащих делителями или множителями других чисел. Для большей ясности ниже приводятся современные определения, потому что их оригинальное пифагорейское определение слишком запутано: