— простое (несоставное) число — это такое, которое делится только на единицу и на себя само;
— составное (вторичное) число — это то, которое не является простым;
— соотношения между простыми числами таковы, что у них есть только один общий делитель — единица;
— соотношения между составными числами подразумевают, что у них есть общие делители, отличные от единицы.
Дальше следовали линейные, плоские, объемные, квадратные и кубические числа. Линейные не имеют делителей; плоские — это произведение двух чисел, которые составляют их стороны; объемные — произведение трех чисел, являющихся их сторонами; квадратные представляют собой произведение одного числа на само себя; кубические — двойное произведение числа на самого себя. К этим типам можно прибавить числа продолговатые, которые отличаются от плоских на единицу. Совершенными числами называли те, которые являются суммой своих делителей, включая 1, но исключая из делителей само число: например, 6 имеет делители 1, 2 и 3. Греки знали только четыре совершенных числа. Кроме 6 это еще 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) и 8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064). В наши дни мы знаем 43 таких числа, все они четные. Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, а также конечно ли их количество.
Кроме совершенных, различали еще избыточные и недостаточные числа: те, которые превосходят сумму своих делителей, являются избыточными, а те, которые меньше такой суммы — недостаточными.
Два числа называются дружественными, когда каждое из них равно сумме делителей другого. Из таких чисел пифагорейцы знали только 220 и 284.
— 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (сумма делителей 284).
-284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 +11 + 20 + 22 + 44 + 55+110 (сумма делителей 220).
Кроме числовых отношений, использующих эту классификацию, пифагорейцы изучали и различные соотношения и пропорции, в которых, по их мнению, и состояла красота — например, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое... Если есть два числа р и q, то их среднее арифметическое А — это
(p + q)/2
среднее геометрическое G — √(pq), а среднее гармоническое Я, которое обратно среднему арифметическому 1 /р и 1 /q, это
2pq/(p+q)
Следовательно, можно доказать, что G — это среднее геометрическое от А и Н; то есть что среднее геометрическое двух чисел является средним геометрическим их среднего арифметического и среднего гармонического. Сводящая все три величины пропорция
A/G = G/Н
получила название совершенной пропорции из-за ее простоты, а пропорция